a, Ta có \(\Delta ABC\) cân tại A, vì vậy \(\widehat{BAC} = \widehat{BCA}\), từ đó suy ra \(\widehat{AMC} = \widehat{BAC}\). Vậy được CMR \(\widehat{AMC} = \widehat{BAC}\).

b, Ta có \(AN = BM\) (theo định nghĩa của N), và vì \(\Delta ABC\) cân tại A nên \(AF\) là đường cao của tam giác \(ABC\) và cắt \(BM\) tại M. Vậy tam giác \(AFM\) và \(ANC\) là tam giác đồng dạng theo góc, nên \(\widehat{AFM} = \widehat{ANC}\). Tuy nhiên, \(\widehat{BAC} = \widehat{AMC}\) (như đã chứng minh ở câu a), từ đó suy ra \(\widehat{ANC} = \widehat{AMC}\). Vậy ta có \(\widehat{ANC} = \widehat{AMC} = \widehat{AFM}\), từ đó suy ra tam giác \(AMC\) đồng dạng với tam giác \(CNE\) (AB vuông góc AF tại F và CN là đường cao trong tam giác ANC).

Do đó, theo định dạng tam giác đồng dạng ta có \(\frac{AM}{CN} = \frac{MF}{NE}\). Tuy nhiên, MF = NE (vì F là trung điểm AC và AD = AE), nên \(\frac{AM}{CN} = 1\), từ đó suy ra \(AM = CN\).

c, Gọi G là giao điểm của AD và BC. Ta cần CMR: \(EI \parallel DB\) và \(BD > \frac{BC + DE}{2}\).

- Hai tam giác \(ABD\) và \(AEB\) là tam giác cân tại A (vì \(AD = AE\) và \(\widehat{DAB} = \widehat{EAB}\)). Vì vậy, ta có \(D\) và \(E\) là trung điểm của \(AG\) và \(BG\) tương ứng.

- Do đó, \(AM\) cắt \(BD\) tại \(M\) là tia \(\text{đối của tia AM}\) nên \(D\) nằm trên \(AC\).

- Theo bài toán ta có \(AE = AD\) nên \(D\) và \(E\) nằm trên \(AC\) và \(AD = AE\).

- Từ đó suy ra \(BD = BC + CD\) với \(CD = AD - AC\).

- Ta có \(\begin{cases} BM = AN \\ MD = AC - AD \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} BM = MD \\ MD = AC - AE \end{cases}\).

- Do đó, tam giác \(BMD\) cân tại \(M\) và \(DM \parallel BC\).

- Tiếp theo, ta có \(\frac{BI}{DE} = \frac{BM}{DM} = \frac{BM}{BM + MD} = \frac{1}{2}\).

- Vậy, \(BI = \frac{1}{2} \cdot DE \Rightarrow \frac{BI}{DE} = \frac{1}{2}\).

- Kết hợp với \(BI \parallel DE\), ta có \(EI \parallel BD\).

- Cuối cùng, ta có \(BD > \frac{BC + DE}{2}\) là điều đúng khi và chỉ khi \(BD > \frac{1}{2}(BC + BI)\). Tuy nhiên, vì \(BI = \frac{1}{2}DE\), nên \(BD > \frac{BC + DE}{2}\) tương đương với \(BD > \frac{BC + BI}{2}\). Vậy, điều phải chứng minh đã được chứng minh.