Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B

Do $\lim_{x \to 0} \frac{f (x)}{x} = 1 \Leftrightarrow \lim_{x \to 0} \frac{f (x) - f (0)}{x - 0} = 1 \Leftrightarrow f' (0) = 1$ .

Ta có: $f'' (x) + {[f' (x)]}^{2} + x^{2} = 1 + 2 x f' (x) \Leftrightarrow {[f' (x) - x]}^{2} = - (f'' (x) - 1)$ , (1)

Đặt $g (x) = f' (x) - x \Rightarrow g' (x) = f'' (x) - 1$ , nên (1) trở thành $g^{2} (x) = - g' (x) \Rightarrow \frac{g' (x)}{g^{2} (x)} = - 1.$

Lấy nguyên hàm hai vế, ta được $- \frac{1}{g (x)} = - x + C \Rightarrow g (x) = \frac{1}{x - C} \Rightarrow f' (x) = x + \frac{1}{x - C}$

Cho $x = 0 \Rightarrow f' (0) = \frac{1}{- C} \Rightarrow C = - 1$ . Do đó $f' (x) = x + \frac{1}{x + 1} \Rightarrow f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1| + C_{1}$

Mặt khác

f (0) = 0 \Rightarrow C_{1} = 0

. Suy ra

f (x) = \frac{x^{2}}{2} + \ln |x + 1|

. Vậy

f (2) = 2 + \ln 3

...Xem thêm

Answer 2