Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéocho hình bình hành...

· 13:05 28/09/2023

Ôn tập Toán 8

Cho hình bình hành ABCD, gọi O là giao điểm của hai đường chéo
cho hình bình hànhABCD. Gọi O là giao điểm của hai đường chéo, gọi P và Q lần lượt là trung điểm OB, OD. Kẻ PM vuông góc với AB tại M, QN vuông góc với CD cắt nhau tại N.Chứng minh ba điểm M , O , N thẳng hàng và các đường thẳng AC , MN , PQ đồng quy

Trả Lời (+5 điểm)

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 câu trả lời 964

Hoàng Linh

2 năm trước

Để chứng minh rằng ba điểm M, O, N thẳng hàng và các đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy, bạn có thể sử dụng các bước sau:

1. Chứng minh rằng M, O, N thẳng hàng:
- Gọi E là giao điểm của MN và AC.
- Bạn có thể sử dụng tỷ lệ đo trong tam giác OBM và tam giác ODN để chứng minh rằng OB/OE = OD/OE. (Đây là tỷ lệ đo theo định lí đo tam giác)
- Từ đó, ta suy ra M, O, N thẳng hàng bằng cách sử dụng định lí Thales (nếu hai tam giác có cạnh đáy song song, thì đường thẳng vẽ từ đỉnh của chúng đến hai điểm nằm trên cạnh đáy cắt nhau tạo ra đoạn cắt cùng chiều).

2. Chứng minh rằng AC, MN, PQ đồng quy:
- Vì M, O, N thẳng hàng, nên ta có ME = EO = ON.
- Khi đó, tam giác MEO là tam giác đều.
- Gọi I là giao điểm của EO và AC.
- Từ đó, ta có tam giác AMI và tam giác CNI là tam giác vuông cân.
- Vì PQ là đoạn trung bình của BC, nên PQ song song với BC và có trung điểm là I.
- Theo định lí đo tam giác vuông cân, ta biết rằng đoạn trung tuyến kết hợp với một đoạn nối đỉnh của tam giác vuông cân sẽ đồng quy với đoạn nối đỉnh khác của tam giác vuông cân.
- Vì vậy, ta kết luận AC, MN, PQ đồng quy.

Như vậy, ba điểm M, O, N thẳng hàng và các đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Ngọc

2 năm trước

1. Gọi \(O_1\) là trung điểm của AB và \(O_2\) là trung điểm của CD.
Do O là giao điểm của hai đường chéo, ta có:
\(O_1O_2\) = \(\frac{1}{2}AC\)

2. Vì P và Q là trung điểm của OB và OD, nên:
\(OP\) = \(OQ\) = \(\frac{1}{2}OB\) = \(\frac{1}{2}OD\)

3. Vì PM vuông góc với AB tại M và QN vuông góc với CD tại N, theo định lí Pythagoras ta có:
\(OM^2\) + \(MP^2\) = \(OP^2\)
và
\(ON^2\) + \(NQ^2\) = \(OQ^2\)

Từ (2), \(OP^2\) = \(OQ^2\)

Do đó, \(OM^2\) + \(MP^2\) = \(ON^2\) + \(NQ^2\)

Vì \(MP\) = \(NQ\) (vì cả hai đều là khoảng cách từ một điểm đến cạnh của hình bình hành), ta suy ra:
\(OM^2\) = \(ON^2\)

Vậy, OM = ON.

4. Vì OM = ON, nên ba điểm M, O, N thẳng hàng.

5. Để chứng minh \(AC\), \(MN\), \(PQ\) đồng quy, ta chứng minh hai đường thẳng trong ba đường thẳng trên đồng quy thì cả ba đều đồng quy.
Ta đã biết \(O_1O_2\) song song với \(PQ\) (vì cả hai đều vuông góc với một cạnh của hình bình hành). Vì \(O_1O_2\) = \(\frac{1}{2}AC\), nên AC, \(O_1O_2\), và PQ đồng quy.

Vì M, O, N thẳng hàng, \(MN\) nằm giữa và vuông góc với \(O_1O_2\), nên \(MN\), \(O_1O_2\), và AC đồng quy.

Như vậy, \(AC\), \(MN\), và \(PQ\) đồng quy.

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn muốn hỏi bài tập?