Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn C

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a căn bậc hai 3. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB, SC. Biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). (ảnh 1)

Gọi H là trung điểm $B C \Rightarrow B C ⊥ S H$ (do $Δ S B C$ cân tại I ).

Gọi G là trọng tâm $Δ A B C$ và $I = S H \cap M N$ .

Do S.ABC là chóp đều $\Rightarrow S G ⊥ (A B C)$

Ta có: MN là đường trung bình của $Δ S B C \Rightarrow M N / / B C \Rightarrow M N ⊥ S H$ tại I

Vậy: $\{\begin{cases} (A M N) ⊥ (S B C) \\ (A M N) \cap (S B C) = M N \\ S H ⊥ M N, S H \subset (S B C) \end{cases} \Rightarrow S H ⊥ (A M N) \Rightarrow S H ⊥ A I$

Lại có I là trung điểm SH (do $I \in M N$ ) => AI là đường trung tuyến $Δ S A H$

Suy ra $Δ S A H$ cân tại $A \Rightarrow S A = A H = \frac{A B \sqrt{3}}{2} = \frac{3 a}{2}$

Xét $Δ S G A$ vuông tại G : $S G = \sqrt{S A^{2} - A G^{2}} = \sqrt{{(\frac{3 a}{2})}^{2} - {(\frac{2}{3} . \frac{3 a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{5}}{2}$

Mặt khác: $\frac{V_{S . A M N}}{V_{S . A B C}} = \frac{S M}{S B} . \frac{S N}{S C} = \frac{1}{4} \Rightarrow V_{M N A B C} = \frac{3}{4} V_{S . A B C} = \frac{3}{4} . \frac{1}{3} . S G . \frac{A B^{2} \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{15}}{32} a^{3}$

...Xem thêm

Answer 2