bài 1 

\[ (7 + 5\sqrt{2})^{\cos x} - (17 + 12\sqrt{2})^{\cos^3 x} = \cos 3x \]

Để giải bài này, bạn cần chuyển toàn bộ về một phía và thử tìm các giá trị x thỏa mãn phương trình.

**Bài 2:**

\[ 2\sqrt{3}\sin 2x = \frac{3\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{\sin 2x} - 1} - \sqrt{3} \]

Chúng ta có:
\[ \tan \frac{x}{2} = \frac{1 - \cos x}{\sin x} \]
\[ \sin 2x = 2\sin x \cos x \]

Sử dụng công thức trên và thay vào phương trình, sau đó giải quyết nó.

Bài 3:

\[ \cot^2 x + 2(m-1)\cot x - 3m + 1 = 0 \]

Đặt \( t = \cot x \). Ta có phương trình trở thành:
\[ t^2 + 2(m-1)t - 3m + 1 = 0 \]

Phương trình trên sẽ có 2 nghiệm phân biệt thuộc \((0, \frac{\pi}{2})\) khi và chỉ khi \( \Delta > 0 \).

Tính \( \Delta \) và giải bất phương trình \( \Delta > 0 \).

Bài 4:

\[ \sin x \sqrt{1 + \sin^2 x} = \cos^2 x \]

Bình phương hai vế:
\[ \sin^2 x (1 + \sin^2 x) = \cos^4 x \]
Với \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \), chúng ta có thể thay thế và giải phương trình.

**Bài 5:**

\[ \sqrt{5 + \sin^2 x} = \sin x + 2\cos x \]

Để sử dụng bất đẳng thức Bunyakovsky:
\[ (\sin^2 x + \cos^2 x)(\sin^2 x + 4\cos^2 x) \geq (\sin x + 2\cos x)^2 \]
Từ đó suy ra giá trị của \( \sin x + 2\cos x \).