Để chứng minh:
\[ \sin^6 x + \cos^6 x = 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x \]

Chúng ta có công thức:
\[ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 \] (1)

Bình phương cả hai vế của (1), ta có:
\[ \sin^4 x + 2\sin^2 x \cos^2 x + \cos^4 x = 1 \] (2)

Tiếp tục bình phương cả hai vế của (1) và nhân với \(\sin^2 x\), ta có:
\[ \sin^4 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = \sin^6 x + \sin^4 x \cos^2 x = \sin^6 x \] (3)

Làm tương tự cho \(\cos^2 x\), ta có:
\[ \cos^6 x \] (4)

Cộng (3) và (4), ta có:
\[ \sin^6 x + \cos^6 x \] (5)

Để biến đổi vế phải của phương trình ban đầu:
\[ 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x \]

Chúng ta sử dụng công thức sau:
\[ \sin^2 x \cos^2 x = \frac{1}{4} \sin^2 2x \] (6)

Thay (6) vào biểu thức trên, ta có:
\[ 1 - 3\sin^2 x \cos^2 x = 1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x \] (7)

 chứng minh (5) bằng (7).

Khi biểu diễn \(\sin^6 x + \cos^6 x\), chúng ta nhận ra rằng nó chưa thể biến đổi trực tiếp thành \(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x\). Tuy nhiên, khi biểu diễn \(1 - 3\sin^2 x \cos^2 x\), chúng ta có thể dùng công thức (6) để biến đổi nó thành \(1 - \frac{3}{4} \sin^2 2x\).