Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn A

Cho hình chóp S.ABC có AB = 4a, BC = 3 căn bậc hai 2 a, góc ABC = 45 độ, góc SAC = góc SBC = 90 độ ; Sin góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBC) bằng căn bậc hai 2/4 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đã cho bằng (ảnh 1)

Do $S A ⊥ A C, S B ⊥ B C$ nên $S, A, B, C$ nằm trên mặt cầu đường kính $S C$ ,

Ta có $A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} - 2 A B . B C . \sin 45^{0} = 10 a^{2} \Rightarrow A C = a \sqrt{10}$

Gọi H là hình chiếu vuông góc của S lên (ABC)

Ta có $C A ⊥ S A$ và $C A ⊥ S H$ nên $C A ⊥ H A$

Tương tự: $C B ⊥ H B$

Khi đó ABCH nội tiếp đường tròn đường kính HC nên $H C = \frac{A C}{\sin 45^{0}} = 2 \sqrt{5} a$

Ta có: $H B = \sqrt{H C^{2} - B C^{2}} = a \sqrt{2}$

Gọi K, I là hình chiếu vuông góc của C và của H lên AB. Khi đó $Δ C K B$ và $Δ H I B$ vuông cân nên $C K = \frac{3 \sqrt{2} a}{\sqrt{2}} = 3 a$ và $H I = \frac{H B}{\sqrt{2}} = a$

Do đó $\frac{d (H, (S A B))}{d (C, (S A B))} = \frac{H I}{C K} = \frac{1}{3}$

Ta có $\sin α = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow \frac{d (C, (S A B))}{C B} = \frac{\sqrt{2}}{4} \Rightarrow d (C, (S A B)) = C B . \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{3 a}{2} \Rightarrow d (H, (S A B)) = \frac{a}{2}$

Khi đó $\frac{1}{S H^{2}} = \frac{1}{d^{2} (H, (S A B))} - \frac{1}{H I^{2}} = \frac{4}{a^{2}} - \frac{1}{a^{2}} = \frac{3}{a^{2}} \Rightarrow S H^{2} = \frac{a^{2}}{3}$

Vậy $S C = \sqrt{S H^{2} + H C^{2}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{3} + 20 a^{2}} = \frac{a \sqrt{183}}{3}$ , suy ra bán kính mặt cầu $R = \frac{a \sqrt{183}}{6}$

...Xem thêm

Answer 2