Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau và cùng cắt khối cầu tâm O bán kính thành hai hình tròn có cùng bán kính. Xét hình nón có đỉnh trùng với tâm của một trong hai hình tròn này và có đáy là hình tròn còn lại. (ảnh 1)

$d ((P), (Q)) = O O^{'} = h; A B = R$

$Δ O A B$ vuông tại O nên $O A = \sqrt{A B^{2} - O B^{2}} = \sqrt{R^{2} - \frac{h^{2}}{4}} .$

$Δ O A O^{'}$ vuông tại O nên $O^{'} A = \sqrt{O^{'} O^{2} + O A^{2}} = \sqrt{h^{2} + R^{2} - \frac{h^{2}}{4}} = \sqrt{R^{2} + \frac{3 h^{2}}{4}} .$

Diện tích xung quanh của hình nón: $S = π . O A . O^{'} A = π . \sqrt{(R^{2} - \frac{h^{2}}{4}) . (R^{2} + \frac{3 h^{2}}{4})}$

Đặt $x = \frac{h^{2}}{4}, x > 0$

Xét $f (x) = π . \sqrt{(R^{2} - x) . (R^{2} + 3 x)} = π . \sqrt{R^{4} + 2 R^{2} x - 3 x^{2}}$ với $x \in (0; R^{2}]$

$f^{'} (x) = π . \frac{2 R^{2} - 6 x}{2 \sqrt{(R^{2} - x) . (R^{2} + 3 x)}} f^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2 R^{2} - 6 x = 0 \Leftrightarrow x = \frac{R^{2}}{3}$

Diện tích xung quanh của hình nón đạt giá trị lớn nhất khi f(x) đạt giá trị lớn nhất trên [0;R²]. Khi đó $x = \frac{R^{2}}{3} \Leftrightarrow \frac{h^{2}}{4} = \frac{R^{2}}{3} \Leftrightarrow h^{2} = \frac{4 R^{2}}{3} \Rightarrow h = \frac{2 R \sqrt{3}}{3} = \frac{2 (4 \sqrt{3}) \sqrt{3}}{3} = 8$

...Xem thêm

Answer 2