Lời giải

a) ABCD là hình thang cân \[ \Rightarrow \widehat D = \widehat C;\;\widehat A = \widehat B\].

• Xét ∆ACD có: \[\widehat {ADC} + \widehat {ACD} = 180^\circ - \widehat {DAC} = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ \]

• Xét ∆ABC có: AB = BC Þ ∆ABC cân tại B

\[ \Rightarrow \widehat {BAC} = \widehat {BCA}\]

Ta có: \[\widehat {DAB} = \widehat {DAC} + \widehat {CAB}\]

\[ = 90^\circ + \widehat {CAB} = \widehat {ADC} + \widehat {ACD} + \widehat {ACB}\]

\[ = \widehat {BCD} + \widehat {BCD} = 2\widehat {BCD}\]

Mà \(\widehat {DAB} + \widehat {BCD} = 180^\circ \Rightarrow 2\widehat {BCD} + \widehat {BCD} = 180^\circ \)

\( \Rightarrow 3\widehat {BCD} = 180^\circ \Rightarrow \widehat {BCD} = 60^\circ \)

\[ \Rightarrow \widehat C = \widehat D = 60^\circ \]

\[ \Rightarrow \widehat A = \widehat B = 180^\circ - \widehat C = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ \]

b) Xét ∆ADC có \(\widehat D = 60^\circ \Rightarrow \widehat {ACD} = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \)

Trong một tam giác vuông, cạnh đối diện với góc 30° có độ dài bằng nửa cạnh huyền

Suy ra \(AD = \frac{1}{2}DC\).

Mà \(AD = BC = AB \Rightarrow AB = \frac{1}{2}DC\).