Lời giải

a) Xét ∆SMA và ∆SBC có:

\[\widehat S\] chung

\(\widehat {SAM} = \widehat {SCB}\) (Hai góc nội tiếp cùng chắn cung MB của (O))

Þ ∆SMA ᔕ ∆SBC (g.g)

b) Do CD ^ AB (giả thiết)

Þ AB là đường trung trực của CD (mối liên hệ giữa đường kính và dây cung)

Þ AC = AD (tính chất đường trung trực)

 (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \widehat {AMD} = \widehat {ABC}\) (góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

\( \Rightarrow \widehat {KBH} = \widehat {KMH}\).

Mà hai góc này cùng nhìn cạnh KH nên suy ra BMHK nội tiếp.

c) Kẻ đường kính MN

Xét ∆AON và ∆BOM có:

OA = OB = R

\(\widehat {AON} = \widehat {BOM}\)

ON = OM = R

Þ ∆AON = ∆BOM (c.g.c)

Þ AN = BM (hai cạnh tương ứng bằng nhau)

 (hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau)

Ta có:

 (tính chất góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn) (1)

 (tính chất góc nội tiếp)

 (2)

Mà  (3)

 (4)

Từ (1), (2), (3) và (4) suy ra \(\widehat {ASC} = \widehat {NMD}\) hay \[\widehat {OMK} = \widehat {OSM}\]

Xét ∆OKM và ∆OMS có:

\(\widehat {MOS}\) chung

\[\widehat {OMK} = \widehat {OSM}\] (cmt)

Þ ∆OKM ᔕ ∆OMS (g.g)

\( \Rightarrow \frac{{OK}}{{OM}} = \frac{{OM}}{{OS}}\) (hai cạnh tương ứng tỉ lệ)

Þ OK.OS = OM² = R².