Lời giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và đường thẳng d:

\(\frac{{2x + 1}}{{x - 1}} = x + m\;\left( {m \ne 1} \right)\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + \left( {m - 3} \right)x - m - 1 = 0\) (1)

Khi đó cắt (C) tại hai điểm phân biệt A và B khi và chi khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1 

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {m - 3} \right)^2} + 4\left( {m + 1} \right) > 0\\{1^2} + \left( {m - 3} \right) - m - 1 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{m^2} - 2m + 13 > 0\\ - 1 \ne 0\end{array} \right.\) (luôn đúng)

Gọi A(x₁; x₁ + m); B(x₂; x₂ + m) trong đó x₁; x₂ là nghiệm của (1), theo Viet ta có: 

\(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 3 - m\\{x_1}{x_2} = - m - 1\end{array} \right.\)

Gọi \(I\left( {\frac{{{x_1} + {x_2}}}{2};\;\frac{{{x_1} + {x_2} + 2m}}{2}} \right)\) là trung điểm của AB, suy ra \(I\left( {\frac{{3 - m}}{2};\;\frac{{3 + m}}{2}} \right)\), nên

\(\overrightarrow {IC} = \left( { - 2 - \frac{{3 - m}}{2};\;5 - \frac{{3 + m}}{2}} \right)\)

\( \Rightarrow CI = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {m - 7} \right)}^2} + {{\left( {7 - m} \right)}^2}} \)

Mặt khác \(\overrightarrow {AB} = \left( {{x_2} - {x_1};\;{x_2} - {x_1}} \right)\)

\( \Rightarrow AB = \sqrt {2{{\left( {{x_2} - {x_1}} \right)}^2}} = \sqrt {2\left( {{m^2} - 2m + 13} \right)} \)

Vậy tam giác ABC đều khi và chỉ khi

\(CI = \frac{{\sqrt 3 }}{2}AB \Leftrightarrow \frac{1}{2}\sqrt {2{{\left( {m - 7} \right)}^2}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sqrt {2\left( {{m^2} - 2m + 13} \right)} \)

\( \Leftrightarrow {\left( {m - 7} \right)^2} = 3\left( {{m^2} - 2m + 13} \right)\)

Û 2m² + 8m − 10 = 0

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 1\\m = - 5\end{array} \right.\)