Lời giải

a) Theo tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau, ta có:

• Ax và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại C Þ CA = CE;

• By và CD là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại D Þ DB = DE.

Suy ra: AC + BD = CE + DE = CD (đpcm)

b) ΔAEB nội tiếp đường tròn đường kính AB

Þ ΔAEB vuông tại E mà EF là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: AF.AB = AE² (1)

ΔBAK vuông tại A có AE là đường cao

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta được: KE.EB = AE² (2)

Từ (1) và (2) suy ra: AF.AB = KE.EB (đpcm)

c) Ax // By (cùng ^ AB), theo định lí Ta-lét ta có: \(\frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{AF}}{{FB}}\).

Mà CE = CA và ED = BD

Þ \(\frac{{AF}}{{FB}} = \frac{{CA}}{{BD}}\)

Lại có \(\widehat {CAF} = \widehat {FBD} = 90^\circ \)

Do đó ΔAFC ᔕ ΔBFD (c.g.c) (đpcm)

d) Ta có: CA = CE; OA = OE Þ OC là đường trung trực của AE

Mà AE ^ EB Þ OC // EB hay OC // BK

Lại có O là trung điểm của BC

Þ C là trung điểm của AK Þ AC = CK

EF // AK Þ \(\frac{{IE}}{{CK}} = \frac{{BI}}{{BC}} = \frac{{IF}}{{AC}}\)

Mà AC = CK Þ IE = IF

Gọi P = IM Ç Ax; Q = IN Ç By

Ta có: CP // IF Þ \(\frac{{CP}}{{IF}} = \frac{{MP}}{{MI}}\)

PA // IE Þ \(\frac{{MP}}{{MI}} = \frac{{AP}}{{IE}}\)

Mà IE = IF Þ CP = MP Þ P là trung điểm của AC.

Chứng minh tương tự ta có Q là trung điểm của BD.

IE // BD Þ \(\frac{{CI}}{{IB}} = \frac{{CE}}{{ED}} = \frac{{CA}}{{BD}} = \frac{{2CP}}{{2QB}} = \frac{{CP}}{{QB}}\)

và \(\widehat {PCI} = \widehat {QBI}\)

Þ ΔPCI ᔕ ΔQBI (c.g.c)

\( \Rightarrow \widehat {QIB} + \widehat {PIB} = \widehat {PIC} + \widehat {PIB} = 180^\circ \)

Þ P, I, Q thẳng hàng Þ M, I, N thẳng hàng (đpcm)