Lời giải

a) Vì MD ⊥ AB nên \(\widehat {M{\rm{D}}A} = 90^\circ \)

ME ⊥ AC nên \(\widehat {MEA} = 90^\circ \)

Vì tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {BAC} = 90^\circ \)

Xét tứ giác ADME có \(\widehat {M{\rm{D}}A} = 90^\circ \), \(\widehat {MEA} = 90^\circ \), \(\widehat {DAE} = 90^\circ \)

Suy ra ADME là hình chữ nhật

Mà AM, DE là 2 đường chéo

Suy ra AD = ME, AM = DE, AM cắt DE tại trung điểm của mỗi đoạn

Vậy AM = DE.

b) Gọi O là giao điểm của AM và DE

Nên ta có O là trung điểm của AM, DE (chứng minh câu a)                     (1)

Vì I là điểm đối xứng của D qua A và K là điểm đối xứng của E qua M

Nên \[IA = AD = \frac{1}{2}DI,\,\,\,KM = EM = \frac{1}{2}KE\]

Mà AD = ME (chứng minh câu a)

Suy ra DI = KE

Ta có DI ⊥ AC, KE ⊥ AC

Suy ra DI // KE (quan hệ từ vuông góc đến song song)

Xét tứ giác DKEI có DI // KE và DI = KE (chứng minh trên)

Suy ra DKEI là hình bình hành

Suy ra DE cắt KI tại trung điểm của mỗi đường

Mà O là trung điểm của DE

Do đó O là trung điểm của KI                        (2)

Từ (1) và (2) suy ra các đoạn thẳng IK, DE, AM đồng quy tại trung điểm O của mỗi đoạn

c) Vì tam giác AHM vuông tại H, HO là đường trung tuyến

nên \[HO = \frac{1}{2}AM\]

Mà AM = DE

Suy ra HO = \(\frac{1}{2}\)DE

Xét tam giác DHE có \[HO = \frac{1}{2}DE\], HO là trung tuyến

Suy ra tam giác DHE vuông tại H

Do đó \(\widehat {DHE} = 90^\circ \)

d) Để hình bình hành DIKE là hình thoi

Thì EK = EI

Mà EK = 2EM, EI = AM

Suy ra AM = 2EM

Xét tam giác AEM vuông tại E có AM = 2EM

Suy ra \(\widehat {MAE} = 30^\circ \)

Vậy lấy M thuộc BC sao cho \(\widehat {MAC} = 30^\circ \) thì tứ giác DIEK là hình thoi.