Quảng cáo
1 câu trả lời 95
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có (x + y)2 ≥ 4xy.
⇔ (x + y)2 ≥ x + y + 2
⇔ (x + y)2 – (x + y) – 2 ≥ 0
⇔ (x + y – 2)(x + y + 1) ≥ 0
\( \Leftrightarrow x + \)y – 2 ≥ 0 (do x + y + 1 > 0, với mọi số dương x, y)
⇔ x + y ≥ 2.
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có \(\frac{{x + y}}{4} + \frac{1}{{x + y}} \ge 2\sqrt {\frac{{x + y}}{4}.\frac{1}{{x + y}}} = 2.\sqrt {\frac{1}{4}} = 1\).
Ta có \(x + y + \frac{1}{{x + y}} = \frac{{3\left( {x + y} \right)}}{4} + \frac{{x + y}}{4} + \frac{1}{{x + y}} \ge \frac{{3.2}}{4} + 1 = \frac{5}{2}\).
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = 1.
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(x + y + \frac{1}{{x + y}}\) bằng \(\frac{5}{2}\) khi x = y = 1.
Quảng cáo
Bạn cần hỏi gì?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
Hỏi từ APP VIETJACK
Đã trả lời bởi chuyên gia
130190 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
104780 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
94635 -
Đã trả lời bởi chuyên gia
72182

