Lời giải

a) Tứ giác ADHE, có:

\[\widehat {DAE} = 90^\circ \] (do tam giác ABC vuông tại A);

\[\widehat {ADH} = 90^\circ \] (do HD ⊥ AB tại D);

\[\widehat {AEH} = 90^\circ \] (do HE ⊥ AC tại E).

Vậy tứ giác ADHE là hình chữ nhật.

b) Ta có K là điểm đối xứng của A qua I (giả thiết).

Suy ra I là trung điểm của AK.

Mà I cũng là trung điểm của HC (giả thiết).

Do đó tứ giác AHKC là hình bình hành.

Vậy AC // HK.

c) Xét ∆DHE và ∆AEH, có:

HE chung;

\(\widehat {DHE} = \widehat {AEH} = 90^\circ \);

DH = AE (ADHE là hình chữ nhật).

Do đó ∆DHE = ∆AEH (c.g.c).

Suy ra \(\widehat {HDE} = \widehat {HAE}\) (cặp cạnh tương ứng).

Mà \(\widehat {HKC} = \widehat {HAC}\) (do tứ giác AHKC là hình bình hành).

Do đó \(\widehat {HDE} = \widehat {HKC}\).

Mà AC // DK (chứng minh trên).

Vậy tứ giác DECK là hình thang cân.

d) Tam giác ACH có các đường trung tuyến AI, CO cắt nhau tại M.

Suy ra M là trọng tâm của tam giác ACH.

Do đó \(AM = \frac{2}{3}AI\).

Mà \(AI = \frac{1}{2}AK\) (do I là trung điểm AK).

Suy ra \(AM = \frac{2}{3}AI = \frac{2}{3}.\frac{1}{2}AK = \frac{1}{3}AK\).

Vậy \(AM = \frac{1}{3}AK\).