a) Chọn gốc toạ độ tại \(B\) và chiều dương từ \(A\) đến \(B\). Khi đó, ta có:

- Vận tốc xe từ A đến B: \(v_{AB} = 36 \mathrm{~km/h}\).

- Vận tốc xe từ B đến A: \(v_{BA} = -54 \mathrm{~km/h}\).

Phương trình chuyển động của hai xe có thể viết như sau:

Đối với xe từ A đến B:

\(x_{AB} = v_{AB} \cdot t\)

Đối với xe từ B đến A:

\(x_{BA} = v_{BA} \cdot (t - 0.5)\)

Trong đó:

- \(x_{AB}\) và \(x_{BA}\) là quãng đường mỗi xe đã đi được tại thời điểm \(t\).

- \(t\) là thời gian diễn ra chuyển động từ khi xe từ A khởi hành.

b) Để tìm thời gian và vị trí mà hai xe gặp nhau, ta giải hệ phương trình:

Thế \(x_{AB}\) và \(x_{BA}\) vào phương trình thứ hai:

\(v_{AB} \cdot t = v_{BA} \cdot (t - 0.5)\)

\(36 \mathrm{~km/h} \cdot t = - 54 \mathrm{~km/h} \cdot (t - 0.5)\)

\(36 \mathrm{~km/h} \cdot t = - 54 \mathrm{~km/h} \cdot t + 27 \mathrm{~km}\)

\(90 \mathrm{~km/h} \cdot t = 27 \mathrm{~km}\)

\(t = \frac{27 \mathrm{~km}}{90 \mathrm{~km/h}} = 0.3 \mathrm{~h}\)

Để tìm vị trí gặp nhau, ta thay thời gian \(t\) vào phương trình \(x_{AB}\) hoặc \(x_{BA}\):

\(x_{AB} = v_{AB} \cdot t = 36 \mathrm{~km/h} \cdot 0.3 \mathrm{~h} = 10.8 \mathrm{~km}\)

\(x_{BA} = v_{BA} \cdot (t - 0.5) = -54 \mathrm{~km/h} \cdot (0.3 \mathrm{~h} - 0.5) = 16.2 \mathrm{~km}\)

Vậy, thời gian mà hai xe gặp nhau là \(0.3\) giờ, và vị trí gặp nhau cách \(B\) \(10.8\) km và \(A\) \(16.2\) km.