a) Chọn gốc toạ độ tại $B$ và chiều dương từ $A$ đến $B$. Khi đó, ta có:

- Vận tốc xe từ A đến B: $v_{AB} = 36 \mathrm{~km/h}$.

- Vận tốc xe từ B đến A: $v_{BA} = -54 \mathrm{~km/h}$.

Phương trình chuyển động của hai xe có thể viết như sau:

Đối với xe từ A đến B:

$x_{AB} = v_{AB} \cdot t$

Đối với xe từ B đến A:

$x_{BA} = v_{BA} \cdot (t - 0.5)$

Trong đó:

- $x_{AB}$ và $x_{BA}$ là quãng đường mỗi xe đã đi được tại thời điểm $t$.

- $t$ là thời gian diễn ra chuyển động từ khi xe từ A khởi hành.

b) Để tìm thời gian và vị trí mà hai xe gặp nhau, ta giải hệ phương trình:

Thế $x_{AB}$ và $x_{BA}$ vào phương trình thứ hai:

$v_{AB} \cdot t = v_{BA} \cdot (t - 0.5)$

$36 \mathrm{~km/h} \cdot t = - 54 \mathrm{~km/h} \cdot (t - 0.5)$

$36 \mathrm{~km/h} \cdot t = - 54 \mathrm{~km/h} \cdot t + 27 \mathrm{~km}$

$90 \mathrm{~km/h} \cdot t = 27 \mathrm{~km}$

$t = \frac{27 \mathrm{~km}}{90 \mathrm{~km/h}} = 0.3 \mathrm{~h}$

Để tìm vị trí gặp nhau, ta thay thời gian $t$ vào phương trình $x_{AB}$ hoặc $x_{BA}$:

$x_{AB} = v_{AB} \cdot t = 36 \mathrm{~km/h} \cdot 0.3 \mathrm{~h} = 10.8 \mathrm{~km}$

$x_{BA} = v_{BA} \cdot (t - 0.5) = -54 \mathrm{~km/h} \cdot (0.3 \mathrm{~h} - 0.5) = 16.2 \mathrm{~km}$

Vậy, thời gian mà hai xe gặp nhau là $0.3$ giờ, và vị trí gặp nhau cách $B$ $10.8$ km và $A$ $16.2$ km.