Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B

Điều kiện: x>0.

Ta có: $\log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) + \log_{2} (x^{2} + y^{2}) \leq \log_{3} x + \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x)$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} + y^{2} + x) - \log_{3} x \leq \log_{2} (x^{2} + y^{2} + 24 x) - \log_{2} (x^{2} + y^{2})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2} + x}{x}) \leq \log_{2} (\frac{x^{2} + y^{2} + 24 x}{x^{2} + y^{2}})$ $\Leftrightarrow \log_{3} (1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{x}) \leq \log_{2} (1 + \frac{24 x}{x^{2} + y^{2}})$

$\Leftrightarrow \log_{3} (\frac{x^{2} + y^{2}}{x} + 1) - \log_{2} (1 + \frac{24 x}{x^{2} + y^{2}}) \leq 0.$

Đặt: $t = \frac{x^{2} + y^{2}}{x} (t > 0)$ , bất phương trình trở thành: $\log_{3} (1 + t) - \log_{2} (1 + \frac{24}{t}) \leq 0$ (1).

Xét hàm số $f (t) = \log_{3} (1 + t) - \log_{2} (1 + \frac{24}{t})$ có $f^{'} (t) = \frac{1}{(1 + t) \ln 3} + \frac{24}{(t^{2} + 24 t) \ln 2} > 0, \forall t > 0$ .

Suy ra hàm số đồng biến trên khoảng $(0; + \infty)$ .

Ta có $f (8) = \log_{3} (1 + 8) - \log_{2} (1 + \frac{24}{8}) = 0$

Từ đó suy ra: $(1) \Leftrightarrow f (t) \leq f (8) \Leftrightarrow t \leq 8 \Leftrightarrow \frac{x^{2} + y^{2}}{x} \leq 8 \Leftrightarrow {(x - 4)}^{2} + y^{2} \leq 16$ .

Đếm các cặp giá trị nguyên của $(x; y)$

Ta có: ${(x - 4)}^{2} \leq 16 \Leftrightarrow 0 \leq x \leq 8$ , mà x>0 nên $0 < x \leq 8$ .

Với $x = 1, x = 7 \Rightarrow y = {\pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 10 cặp.

Với $x = 2, x = 6 \Rightarrow y = {\pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 14 cặp.

Với $x = 3, x = 5 \Rightarrow y = {\pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 14 cặp.

Với $x = 4 \Rightarrow y = {\pm 4; \pm 3; \pm 2; \pm 1; 0}$ nên có 9 cặp.

Với $x = 8 \Rightarrow y = 0$ có 1 cặp.

Vậy có 48 cặp giá trị nguyên $(x; y)$ thỏa mãn đề bài.

...Xem thêm

Answer 2