Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM, CN vuông góc với nhau và có BC = 3, góc BAC = 30°. Tính diện tích tam giác ABC. (ảnh 1)

Gọi E là giao điểm của BM và CN.

Ta có công thức đường trung tuyến:

$C N^{2} = \frac{C A^{2} + C B^{2}}{2} - \frac{A B^{2}}{4} = \frac{b^{2} + a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4} \Rightarrow C E^{2} = \frac{4}{9} C N^{2} = \frac{4}{9} (\frac{b^{2} + a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}) B M^{2} = \frac{B A^{2} + B C^{2}}{2} - \frac{C A^{2}}{4} = \frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4} \Rightarrow B E^{2} = \frac{4}{9} B M^{2} = \frac{4}{9} (\frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4})$

Trong tam giác ABC có: BM $⊥$ CN nên tam giác CEB vuông tại E

=> CE² + BE² = BC²

^{$\Rightarrow \frac{4}{9} (\frac{b^{2} + a^{2}}{2} - \frac{c^{2}}{4}) + \frac{4}{9} (\frac{c^{2} + a^{2}}{2} - \frac{b^{2}}{4}) = a^{2} \Leftrightarrow \frac{1}{9} b^{2} + \frac{1}{9} c^{2} + \frac{4}{9} a^{2} = a^{2} \Leftrightarrow 5 a^{2} = b^{2} + c^{2}$}

Tam giác ABC có:

a² = b² + c² − 2bc.cos A = 5a² − 2bc.cos A

$\Rightarrow b c = \frac{2 a^{2}}{\cos A}$

Khi đó: $S = \frac{1}{2} b c . \sin A = \frac{1}{2} . \frac{2 a^{2}}{\cos A} . \sin A = a^{2} . \tan A = a^{2} . \tan 30 ° = 3 \sqrt{3}$

...Xem thêm

Answer 2