Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

BĐT trên tương đương với việc chứng minh $a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4} \geq 3 a^{2} b^{2} c^{2}$

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} \geq 2 \sqrt{a^{4} b^{4} . b^{4} c^{4}} = 2 a^{2} b^{4} c^{2}$ (1)

$b^{4} c^{4} + c^{4} a^{4} \geq 2 \sqrt{b^{4} c^{4} . c^{4} a^{4}} = 2 b^{2} c^{4} a^{2}$ (2)

$c^{4} a^{4} + a^{4} b^{4} \geq 2 \sqrt{c^{4} a^{4} . a^{4} b^{4}} = 2 c^{2} a^{4} b^{2}$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$2 (a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4}) \geq 2 (a^{2} b^{4} c^{2} + b^{2} c^{4} a^{2} + c^{2} a^{4} b^{2}) \Leftrightarrow a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4} \geq a^{2} b^{4} c^{2} + b^{2} c^{4} a^{2} + c^{2} a^{4} b^{2}$

$\Leftrightarrow a^{4} b^{4} + b^{4} c^{4} + a^{4} c^{4} \geq a^{2} b^{2} c^{2} (a^{2} + b^{2} + c^{2}) = 3 a^{2} b^{2} c^{2}$ (*)

Chia 2 vế của (*) với abc > 0 ta suy ra:

$\frac{a^{3} b^{3}}{c} + \frac{b^{3} c^{3}}{a} + \frac{a^{3} c^{3}}{b} \geq 3 a b c$ (đpcm).

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1.

...Xem thêm

Answer 2