Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Áp dụng BĐT AM - GM ta có:

$\frac{a^{3}}{b} + a b \geq 2 \sqrt{\frac{a^{3}}{b} . a b} = 2 a^{2}$ (1)

$\frac{b^{3}}{c} + b c \geq 2 \sqrt{\frac{b^{3}}{c} . b c} = 2 b^{2}$ (2)

$\frac{c^{3}}{a} + c a \geq 2 \sqrt{\frac{c^{3}}{a} . c a} = 2 c^{2}$ (3)

Cộng vế theo vế của (1), (2), (3) nên ta có:

$\frac{a^{3}}{b} + a b + \frac{b^{3}}{c} + b c + \frac{c^{3}}{a} + c a \geq 2 a^{2} + 2 b^{2} + 2 c^{2} \Leftrightarrow \frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a^{2} + b^{2} + c^{2}) - (a b + b c + c a)$

Theo hệ quả của BĐT AM - GM thì: $a^{2} + b^{2} + c^{2} \geq a b + b c + c a$

Do đó $\frac{a^{3}}{b} + \frac{b^{3}}{c} + \frac{c^{3}}{a} \geq 2 (a b + b c + c a) - (a b + b c + c a) = a b + b c + c a$

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c > 0

...Xem thêm

Answer 2