Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC). Đường tròn tâm O, đường kính BC lần lượt cắt AB (ảnh 1)

a) Ta có: BC là đường kính của (O) suy ra $C M ⊥ A B$ , $B N ⊥ A C$ .

Mà $B N \cap C M = H$ suy ra H là trực tâm tam giác $∆ A B C$

$\Rightarrow A K ⊥ B C$ (đpcm)

b) Ta có: $C M ⊥ A B, B N ⊥ A C$

$\Rightarrow \cos \hat{A} = \frac{A M}{A C} = \frac{A N}{A B}$

$\Rightarrow A M . A B = A N . A C$ (đpcm)

c) Ta có:

$A K ⊥ B C, B N ⊥ A C, C M ⊥ A B$ .

Suy ra ta có những tứ giác sau là những tứ giác nội tiếp:

AMHN, MHKB, ANKB.

$\Rightarrow \hat{K M H} = \hat{K B H} = \hat{K B N} = \hat{K A N} = \hat{H A N} = \hat{H M N}$

$\Rightarrow \hat{K M H} = \hat{H M N}$

Suy ra MH là phân giác góc NMK.

d) Ta có:

$\hat{S M B} + \hat{B M N} = 180 °$

$\hat{N C B} + \hat{B M N} = 180 °$

Suy ra $\hat{S M B} = \hat{N C B}$

$\Rightarrow Δ S M B ∽ Δ S C N$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{S M}{S C} = \frac{S B}{S N}$

$\Rightarrow S M . S N = S C . S B$ (1)

Theo câu c) $\Rightarrow \hat{N M K} = 2 \hat{C M N} = 2 \hat{N B C} = \hat{N O C}$

Suy ra MNOK nội tiếp.

$\Rightarrow \hat{S K M} = \hat{M N O}$

$Δ S M K ∽ Δ S O N$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{S M}{S O} = \frac{S K}{S N} \Rightarrow S M . S N = S K . S O$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SB.SC= SK.SO

...Xem thêm

Answer 2