Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Để chứng minh rằng AD.BC < AB.CD + AC.BD trong tam giác ABC với điểm D trên cạnh BC, chúng ta sẽ sử dụng một trong các bất đẳng thức tam giác. Trong trường hợp này, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức tam giác của Ptolemy. Bất đẳng thức tam giác Ptolemy được phát biểu như sau:

Trong một tứ giác lồi ABCD có cạnh theo thứ tự AB, BC, CD, DA, thì ta có:

AB * CD + BC * DA ≥ AC * BD.

Với bất đẳng thức trên, ta có thể nhận thấy rằng để chứng minh AD.BC < AB.CD + AC.BD, ta chỉ cần đảo chiều bất đẳng thức (đổi dấu) và áp dụng bất đẳng thức tam giác Ptolemy.

Đầu tiên, ta xem xét tứ giác ABDC:

AD * BC + AB * CD ≥ AC * BD.

Tiếp theo, đổi dấu bất đẳng thức:

-AD * BC ≤ -AB * CD + AC * BD.

Nhưng chúng ta muốn chứng minh rằng AD.BC < AB.CD + AC.BD, vì vậy ta cần đổi chiều bất đẳng thức một lần nữa:

AD * BC > AB * CD - AC * BD.

Và đó là nhận xét chúng ta muốn. Như vậy, ta đã chứng minh rằng trong tam giác ABC và một điểm D trên cạnh BC, thì AD.BC < AB.CD + AC.BD.

...Xem thêm

Answer 2