Phương pháp:

Sử dụng các công thức \({\log _a}{x^n} = n{\log _a}x;\,\,\,{\log _a}b + {\log _a}c = {\log _a}\left( {bc} \right);\,\,\,{\log _a}b - {\log _a}c = {\log _a}\frac{b}{c}\)

Giả sử các biểu thức là có nghĩa).

Cách giải:

\(a{\log _2}3 + b{\log _6}2 + c{\log _6}3 = 5\) \( \Leftrightarrow {\log _6}{2^b} + {\log _6}{3^c} = {\log _2}{2^5} - {\log _2}{3^a}\)

\( \Leftrightarrow {\log _6}{2^b}{3^c} = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}}\)

Đặt \(\left\{ \begin{array}{l}t = {\log _6}{2^b}{3^c}\\t = {\log _2}\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^b}{3^c} = {6^t}\\\frac{{{2^5}}}{{{3^a}}} = {2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{2^b}{3^c} = {6^t}\\{2^5} = {3^a}{2^t}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 0\\t = 5\\b = c = 5\end{array} \right.\) (vì a, b, c là các số tự nhiên).

Vậy \(b = c\)