Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hàm số

y = f (x) = \frac{x + m}{x + 1}

xác định và liên tục trên

[0; 1] .

+ Với

m = 1

hàm số trở thành

y = 1

\Rightarrow max_{[0; 1]} f (x) = min_{[0; 1]} f (x) = 1 \Rightarrow max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2

Do đó

m = 1

thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với

m \neq 1

hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

[0; 1]

. Ta có

f (0) = m, f (1) = \frac{m + 1}{2}

TH1:

f (0) . f (1) \leq 0 \Leftrightarrow m . \frac{m + 1}{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0

Khi đó

min_{[0; 1]} |f (x)| = 0

và

max_{[0; 1]} |f (x)| = |m|

hoặc

max_{[0; 1]} |f (x)| = |\frac{m + 1}{2}|

Theo giả thiết ta phải có

[\begin{array}{l} |m| = 2 \\ |\frac{m + 1}{2}| = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \pm 2 \\ m = 3 \\ m = - 5 \end{array}

(loại).
TH2:

f (0) . f (1) > 0 \Leftrightarrow m \frac{m + 1}{2} > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 0 \end{array}

Khi đó

[\begin{array}{l} \max_{[0; 1]} |f (x)| = |f (1)|; \min_{[0; 1]} |f (x)| = |f (0)| \\ \max_{[0; 1]} |f (x)| = |f (0)|; \min_{[0; 1]} |f (x)| = |f (1)| \end{array} .

Theo giả thiết ta có:

max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2 \Leftrightarrow |m| + |\frac{m + 1}{2}| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + \frac{m + 1}{2} = 2 \\ - m - \frac{m + 1}{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{3} \end{array}

(thoả mãn).
Vậy với

[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{3} \end{array}

thì điều kiện bài toán thỏa mãn.

...Xem thêm

Answer 2

Hàm số

y = f (x) = \frac{x + m}{x + 1}

xác định và liên tục trên

[0; 1] .

+ Với

m = 1

hàm số trở thành

y = 1

\Rightarrow max_{[0; 1]} f (x) = min_{[0; 1]} f (x) = 1 \Rightarrow max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2

Do đó

m = 1

thỏa yêu cầu bài toán.
+ Với

m \neq 1

hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên

[0; 1]

. Ta có

f (0) = m, f (1) = \frac{m + 1}{2}

TH1:

f (0) . f (1) \leq 0 \Leftrightarrow m . \frac{m + 1}{2} \leq 0 \Leftrightarrow - 1 \leq m \leq 0

Khi đó

min_{[0; 1]} |f (x)| = 0

và

max_{[0; 1]} |f (x)| = |m|

hoặc

max_{[0; 1]} |f (x)| = |\frac{m + 1}{2}|

Theo giả thiết ta phải có

[\begin{array}{l} |m| = 2 \\ |\frac{m + 1}{2}| = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = \pm 2 \\ m = 3 \\ m = - 5 \end{array}

(loại).
TH2:

f (0) . f (1) > 0 \Leftrightarrow m \frac{m + 1}{2} > 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m < - 1 \\ m > 0 \end{array}

Khi đó

[\begin{array}{l} \max_{[0; 1]} |f (x)| = |f (1)|; \min_{[0; 1]} |f (x)| = |f (0)| \\ \max_{[0; 1]} |f (x)| = |f (0)|; \min_{[0; 1]} |f (x)| = |f (1)| \end{array} .

Theo giả thiết ta có:

max_{[0; 1]} |f (x)| + min_{[0; 1]} |f (x)| = 2 \Leftrightarrow |m| + |\frac{m + 1}{2}| = 2 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m + \frac{m + 1}{2} = 2 \\ - m - \frac{m + 1}{2} = 2 \end{array} \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{3} \end{array}

(thoả mãn).
Vậy với

[\begin{array}{l} m = 1 \\ m = - \frac{5}{3} \end{array}

thì điều kiện bài toán thỏa mãn.