Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bpt:

m \sqrt{1 - x} + 12 \sqrt{1 - x^{2}} \geq 16 x + 3 m \sqrt{1 + x} + 2 m + 15

m (\sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x} - 2) \geq 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15

(1).
 Đặt

t = \sqrt{1 - x} - 3 \sqrt{1 + x}

với

x \in [- 1; 1]

.

t^{'} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x}} - \frac{3}{2 \sqrt{1 + x}} < 0 \forall x \in (- 1; 1)

.
Suy ra t nghịch biến trên

[- 1; 1]

.
Nên

t (1) \leq t \leq t (- 1)

<=>

- 3 \sqrt{2} \leq t \leq \sqrt{2}

 Ta có

t^{2} = 8 x + 10 - 6 \sqrt{1 - x^{2}}

<=>

2 t^{2} - 5 = 2 (8 x - 6 \sqrt{1 - x^{2}}) + 15

.
Khi đó (1) trở thành:

m (t - 2) \geq 2 t^{2} - 5

với

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

.

<=>

m \leq \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}

(2)với

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

vì

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

nên

(t - 2) < 0

(2) với (vì nên ).
 Xét hàm số

f (t) = \frac{2 t^{2} - 5}{t - 2}

trên đoạn

[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

.

f^{'} (t) = \frac{4 t (t - 2) - (2 t^{2} - 5)}{{(t - 2)}^{2}} = \frac{2 t^{2} - 8 t + 5}{{(t - 2)}^{2}}

.

f^{'} (t) = 0

<=>

[\begin{array}{l} t = \frac{4 + \sqrt{6}}{2} (l o ạ i) \\ t = \frac{4 - \sqrt{6}}{2} \end{array}

f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97

;

f (\sqrt{2}) = \frac{2 + \sqrt{2}}{2} \approx 1, 7

;

f (\frac{4 - \sqrt{6}}{2}) = 8 - 2 \sqrt{6} \approx 3, 1

(1) nghiệm đúng với mọi

x \in [- 1; 1]

<=> (2) nghiệm đúng với mọi

t \in [- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]

<=>

m \leq \min_{[- 3 \sqrt{2}; \sqrt{2}]} f (t) = f (- 3 \sqrt{2}) = \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97

Kết hợp với điều kiện bài toán ta có:

\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 9; 9] \\ m \leq \frac{62 - 93 \sqrt{2}}{14} \approx - 4, 97 \end{cases}

<=>

m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}

.
Vậy

m \in \{- 9; - 8; - 7; - 6; - 5\}

.

...Xem thêm

Answer 2