Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn A

Ta có $2^{x - 1} = \log_{4} (x + 2 m) + m \Leftrightarrow 2^{x} = \log_{2} (x + 2 m) + 2 m$ .

Đặt $a = \log_{2} (x + 2 m) \Rightarrow 2 m = 2^{a} - x$ , phương trình đã cho trở thành

$2^{x} = a + 2^{a} - x \Leftrightarrow 2^{x} + x = 2^{a} + a$ (1)

Xét hàm số $f (t) = 2^{t} + t$ , có $f^{'} (t) = 2^{t} \ln 2 + 1 > 0, \forall t \in ℝ$ suy ra f(t) đồng biến trên R.

Khi đó $(1) \Leftrightarrow f (x) = f (a) \Leftrightarrow x = a$ , suy ra $x = \log_{2} (x + 2 m) \Leftrightarrow 2 m = 2^{x} - x$ (2)

Xét hàm số $g (x) = 2^{x} - x$ , ta có $g^{'} (x) = 2^{x} \ln 2 - 1$

$\Rightarrow g^{'} (x) = 0 \Leftrightarrow 2^{x} \ln 2 - 1 = 0 \Leftrightarrow x = - \log_{2} \ln 2 = x_{0}$

Bảng biến thiên

Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m (với |m| < 2021) (ảnh 1)

Do đó (2) có nghiệm khi và chỉ khi $2 m \geq g (x_{0}) = \frac{1}{\ln 2} + \log_{2} \ln 2 \Leftrightarrow m \geq \frac{1}{2 \ln 2} + \frac{1}{2} \log_{2} \ln 2 \approx 0, 46$

Do $|m| < 2021, m \in ℤ$ nên $m \in \{1; 2; ...; 2020\}$ , do đó có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn đề bài.

...Xem thêm

Answer 2