Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn A

Cho x,y là các số thực dương. Xét các hình chóp SA= x, BC=y, các cạnh còn lại đều bằng 1 . Khi x,y thay đổi, thể tích khối chóp (ảnh 1)

Do $S B = S C = A B = A C = 1$ nên các tam giác $S B C$ và ABC là tam giác cân.

Gọi M là trung điểm BC , khi đó ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S M \\ B C ⊥ A M \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S A M) \Rightarrow (A B C) ⊥ (S A M)$ .

Kẻ $S H ⊥ A M$ , khi đó $S H ⊥ (A B C)$ .

Ta có $A M = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}}$ $\Rightarrow S_{Δ A B C} = \frac{1}{2} \cdot A M \cdot B C = \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}} \cdot y$ .

Gọi N là trung điểm SA . Tam giác SMA cân tại M nên MN là đường cao và $M N = \sqrt{A M^{2} - A N^{2}} = \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{4}}$ .

Ta có $M N . S A = A H . A M$ nên $A H = \frac{M N . S A}{A M}$ $= \frac{x \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{\sqrt{4 - y^{2}}}$ .

Vậy $V_{S . A B C} = \frac{1}{3} \cdot S H \cdot S_{Δ A B C} = \frac{1}{3} \cdot \frac{x \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}}}{4 - y^{2}} \cdot \frac{1}{2} \sqrt{1 - \frac{y^{2}}{4}} \cdot y$

$= \frac{1}{12} x y \sqrt{4 - x^{2} - y^{2}} \leq \frac{1}{12} \sqrt{{(\frac{x^{2} + y^{2} + 4 - x^{2} - y^{2}}{3})}^{3}} = \frac{2 \sqrt{3}}{27}$ .

Dấu “=” xảy ra khi $x = y = \frac{2}{\sqrt{3}}$ .

...Xem thêm

Answer 2