Lời giải

Chọn B

Dựng điểm \(E\) sao cho \(ACBE\) là hình bình hành.

Khi đó: \(AC//EB \Rightarrow AC//\left( {SBE} \right) \Rightarrow d\left( {AC,SB} \right) = d\left( {AC,\left( {SBE} \right)} \right) = d\left( {A,\left( {SBE} \right)} \right)\).

Kẻ \(AI \bot EB\left( {I \in AB} \right)\), kẻ \(AH \bot SI\left( {H \in SI} \right) \Rightarrow d\left( {A,\left( {SEB} \right)} \right) = AH = a\).

Tam giác \(A\) vuông tại tại \(A\).

Ta có \(\frac{1}{{A{I^2}}} = \frac{1}{{A{B^2}}} + \frac{1}{{A{E^2}}} = \frac{1}{{4{a^2}}} + \frac{1}{{4{a^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}}\).

Xét \(\Delta SAI\), ta có: \(\frac{1}{{A{H^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{A{I^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{a^2}}} = \frac{1}{{S{A^2}}} + \frac{1}{{2{a^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{S{A^2}}} = \frac{1}{{2{a^2}}} \Rightarrow SA = a\sqrt 2 \).

Vậy thể tích của tích khối chóp \(S.ABCD\) là \({V_{S.ABCD}} = \frac{1}{3}.SA.{S_{ABCD}} = \frac{1}{3}.a\sqrt 2 .4{a^2} = \frac{{4\sqrt 2 {a^3}}}{3}\).