Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương pháp:

Rút gọn $\frac{x^{3} - 1}{{(x + 1)}^{3} + 1} = \frac{x - 1}{x + 2} .$ Từ đó rút gọn biểu thức trong log và giải bất phương trình.

Cách giải:

Ta có:

$\log_{\frac{37}{55}} \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} + \log_{\frac{37}{55}} \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} + ... + \log_{\frac{37}{55}} \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1} < 1$

$\Leftrightarrow \log_{\frac{37}{55}} (\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} . \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} ... \frac{x^{3} - 1}{x^{3} + 1}) < 1 (*)$

Ta có: $\frac{x^{3} - 1}{{(x + 1)}^{3} + 1} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 2) [{(x + 1)}^{2} - (x + 1) + 1]} = \frac{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}{(x + 2) (x^{2} + x + 1)} = \frac{x - 1}{x + 2} .$

Khi đó

$(*) \Leftrightarrow \log_{\frac{37}{55}} (\frac{1}{2^{3} + 1} . \frac{1}{4} . \frac{2}{5} . \frac{3}{6} . \frac{4}{7} ... \frac{x - 2}{x + 1} . (x^{3} - 1)) < 1$

$\Leftrightarrow \log_{\frac{37}{55}} (\frac{x^{3} - 1}{9} . \frac{1.2.3}{(x - 1) x (x + 1)}) < 1$

$\Leftrightarrow \frac{x^{3} - 1}{9} . \frac{1.2.3}{(x - 1) x (x + 1)} > \frac{37}{55}$

$\Leftrightarrow \frac{2}{3} . \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x} > \frac{37}{55}$

$\Leftrightarrow \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x} > \frac{111}{110}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x^{2} + x} > \frac{1}{110}$

$\Leftrightarrow x^{2} + x < 110$

$\Leftrightarrow - 11 < x < 10$

Kết hợp điều kiện đề bài ta có $\{\begin{cases} 2 < x < 10 \\ x \in ℤ \end{cases} \Rightarrow x \in \{3; 4; 5; ...; 9\} .$

Vậy tổng các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho bằng: $3 + 4 + ... + 9 = \frac{(3 + 9) .7}{2} = 42.$

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2