Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Phương pháp:

- Khai triển hằng đẳng thức.

- Sử dụng: $- \sqrt{a^{2} + b^{2}} \leq a \sin x + b \cos x \leq \sqrt{a^{2} + b^{2}},$ từ đó tìm $\min_{x \in ℝ} f (x), \max_{x \in ℝ} f (x) .$

- Giải phương trình tìm nghiệm nguyên m,n

Cách giải:

Ta có:

$f (x) = {(\sin x - m)}^{2} + {(\cos x - n)}^{2}$

$f (x) = \sin^{2} x - 2 m \sin x + m^{2} + \cos^{2} x - 2 n \cos x + n^{2}$

$f (x) = 1 - 2 (m \sin x + n \cos x) + m^{2} + n^{2}$

Ta có: $- \sqrt{m^{2} + n^{2}} \leq m \sin x + n \cos x \leq \sqrt{m^{2} + n^{2}}$

$\Rightarrow 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} \geq - 2 (m \sin x + n \cos x) \geq - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}}$

$\Rightarrow 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} \geq 1 - 2 (m \sin x + n \cos x) \geq 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}}$

$\Rightarrow 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2} \geq f (x) \geq 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2}$

$\Rightarrow \min_{x \in ℝ} f (x) = 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2}$

$\max_{x \in ℝ} f (x) = 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2}$

Theo bài ra ta có:

$\Leftrightarrow 1 - 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2} + 1 + 2 \sqrt{m^{2} + n^{2}} + m^{2} + n^{2} = 52$

$\Leftrightarrow 2 + 2 m^{2} + 2 n^{2} = 52$

$\Leftrightarrow m^{2} + n^{2} = 25$

Vì $m, n \in ℤ \Rightarrow (m; n) \in \{\begin{array}{l} (0; 5); (0; - 5); (5; 0); (- 5; 0); \\ (3; 4); (3; - 4); (- 3; 4); (- 3; - 4) \\ (4; 3); (4; - 3); (- 4; 3); (- 4; - 3) \end{array}\}$ .

Vậy có 12 bộ số m,n thỏa mãn.

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2