Gọi $h_1$ và $h_2$ lần lượt là chiều cao trực diện của tam giác $ABD$ và tam giác $BCD$. Ta cần tìm diện tích hình thang $ABCD$, được tính bằng tổng diện tích hai tam giác $ABD$ và $BCD$:

$S_{ABCD} = S_{ABD} + S_{BCD}$

Vì hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $D$, theo công thức diện tích tam giác, ta có:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 \quad \text{và} \quad S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2$

Ta cần tìm chiều cao trực diện $h_1$ và $h_2$. 

Xét tam giác $ABD$, ta có:

$h_1^2 = AD^2 - \left(\frac{AB}{2} \right)^2 = \left(\frac{2}{3} CD \right)^2 - \left(\frac{AB}{2} \right)^2$

Xét tam giác $BCD$, ta có:

$h_2^2 = BC^2 - \left(\frac{AB}{2} \right)^2 = CD^2 - \left(\frac{2}{3}CD \right)^2 - \left(\frac{AB}{2} \right)^2$

Từ phương trình đầu tiên, ta suy ra:

$h_1^2 = \frac{4}{9}CD^2 - \frac{1}{4}AB^2$

Thay công thức $AB = \frac{2}{3}CD$ vào ta được:

$h_1^2 = \frac{4}{9}CD^2 - \frac{1}{4}\cdot \left(\frac{2}{3}CD \right)^2 = \frac{1}{9}CD^2$

Tương tự, từ phương trình thứ hai, ta có:

$h_2^2 = CD^2 - \frac{4}{9}CD^2 - \frac{1}{4}\cdot \left(\frac{2}{3}CD \right)^2 = \frac{25}{36}CD^2$

Giả sử đường cao từ $O$ đến đáy $AD$ có độ dài $h$, ta lập phương trình sau đây theo định lý Pythagoras trong tam giác $OAD$:

$(h+h_1)^2 + \left(\frac{AB}{2} \right)^2 = h_2^2$

Thay $AB = \frac{2}{3}CD$ và các giá trị $h_1$, $h_2$ tính được trước đó vào phương trình trên, ta được:

$(h+\sqrt{\frac{1}{9}CD^2})^2 + \left(\frac{CD}{3} \right)^2 = \frac{25}{36}CD^2$

 ta có:

$h+\sqrt{\frac{1}{9}CD^2} = \frac{\sqrt{7}}{6}CD$

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 \quad \text{và} \quad S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2$0

Cuối cùng, ta có:

$S_{ABD} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_1 \quad \text{và} \quad S_{BCD} = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot h_2$1

Vậy, diện tích hình thang $ABCD$ là $\frac{11}{18}CD^2$.