Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi $M$, $N$ lần lượt là trung điểm của $AB$, $AC$. Ta có $OM \perp AB$, $ON \perp AC$, suy ra $OM \parallel ON$.

Gọi $P$ là giao điểm của $DE$ và $MN$. Ta cần chứng minh $P$ nằm trên đường trung trực của $AO$.

Ta có $\angle ABD = \angle ACE$ (do tam giác $ABC$ cân tại $A$), suy ra $\angle ABE = \angle ACD$. Mà $BD = AE$, nên tam giác $ABE$ và $ACD$ đồng dạng. Từ đó, ta có $\dfrac{AP}{PD} = \dfrac{AN}{NC} = \dfrac{AM}{MB}$ (do $MN$ là đường trung trực của $BC$).

Do đó, $AP.MB = PD.AM$.

Mặt khác, ta có $OM \parallel DE$, suy ra $\dfrac{AP}{PD} = \dfrac{OM}{OD}$. Tương tự, ta có $\dfrac{MB}{MA} = \dfrac{ON}{OM}$.

Kết hợp hai phương trình trên, ta được:

$\dfrac{AP.MB}{PD.MA} = \dfrac{OM.ON}{OD.OM}$

$\Leftrightarrow AP.MB.OD = PD.MA.ON$

$\Leftrightarrow AP.(AB-BD).OD = PD.(AC-CE).ON$

$\Leftrightarrow AP.(AO+OD-AD).OD = PD.(AO+ON-NC).ON$

$\Leftrightarrow AP.AO.OD + AP.OD^2 - AP.AD.OD = PD.AO.ON + PD.ON^2 - PD.NC.ON$

$\Leftrightarrow AP.AO.OD - PD.AO.ON = AP.AD.OD - PD.NC.ON$

$\Leftrightarrow AO.(AP.OD - PD.ON) = AP.AD.OD - PD.NC.ON$

$\Leftrightarrow AO.(AP.OD - PD.ON) = AD.(AP.OM - PD.NM)$

$\Leftrightarrow AO.PD.MN = AD.PM.ON$

$\Leftrightarrow \dfrac{AP}{PM} = \dfrac{AD}{OD}$ (do $MN$ là đường trung trực của $BC$)

Do đó, ta có $\triangle AOP \sim \triangle DOM$, suy ra $\angle APO = \angle DMO$. Tương tự, ta có $\triangle AOP \sim \triangle CON$, suy ra $\angle APO = \angle CNO$.

Kết hợp hai kết quả trên, ta có $\angle DMO = \angle CNO$, suy ra $P$ nằm trên đường trung trực của $BC$, hay đường trung trực của $DE$ đi qua $O$.

...Xem thêm

Answer 2