Vì đường tròn có tâm $I(-3,-4)$ tiếp xúc với đường thẳng $\Delta: x-y+2=0$, nên đường thẳng này là tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm $M$ nào đó. Ta cần tìm tọa độ của điểm $M$ này để viết được phương trình của đường tròn.

Điểm $M$ cũng là điểm chung của đường thẳng $\Delta$ với đường vuông góc với nó và đi qua tâm $I$. Một đường thẳng vuông góc với $\Delta$ sẽ có dạng $y - x = b$, ta cần tìm $b$ thỏa mãn điều kiện này.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $I$ xuống đường thẳng $\Delta$. Khi đó, ta có tam giác vuông $IHM$, với đường cao $MH$ nằm trên đường thẳng $\Delta$, và do đó, ta có:
$MH = |IH \cdot \cos(\angle MIH)| = |(-4-b)\cos(\angle MIH)|$

Để $MH$ là kích thước của bán kính đường tròn, ta cần chọn $b$ sao cho $MH$ có giá trị bằng $-r$, hay:
$|-4-b|\cos(\angle MIH) = r$

Ta biết rằng $\cos(\angle MIH) = \frac{IM}{IH}$, với $IM = r$ là bán kính đường tròn cần tìm. Thay $IM = r$ và giá trị của $IH$ và $MH$ vào phương trình trên, ta được:
$|-4-b| \cdot \frac{r}{\sqrt{r^2 + (-3)^2+(-4)^2}} = r$

Giải phương trình này, ta được $b = -\frac{25}{12}$ hoặc $b = -\frac{147}{12}$. Hai giá trị này tương ứng với hai đường vuông góc với $\Delta$, nhưng chỉ có $b=-\frac{25}{12}$ thỏa mãn điều kiện rằng $I$ nằm trên đường vuông góc đó.

Điểm $M$ có thể tính bằng cách giao điểm của đường vuông góc đã tìm được với đường $\Delta$. Phương trình của đường vuông góc đó là $y - x = -\frac{25}{12}$, và giao điểm của nó với $\Delta$ có thể tìm bằng cách giải hệ phương trình sau:
$\begin{cases}$
y - x = -\dfrac{25}{12}\\
x - y + 2 = 0
\end{cases}

Giải hệ phương trình trên ta được $x = -\frac{17}{12}$ và $y = -\frac{7}{12}$. Vậy, tọa độ của điểm $M$ là $M\left