Đường tròn (C) có tâm là I(0,2) và bán kính bằng 2. Ta có thể viết lại phương trình của (C) dưới dạng: (y-2)^2 = -x^2 +4x+4.

Để tìm tiếp tuyến của đường tròn (C) tại một điểm P(x0,y0) trên đường tròn, ta cần tính được đạo hàm của (C) tại P(x0,y0). Áp dụng quy tắc tính đạo hàm, ta có:
d/dx [(y-2)^2] = 0 - 2(x0-2) = -2x0 + 4
d/dy [(y-2)^2] = 2(y0-2)

Vậy nếu đường thẳng d là tiếp tuyến của (C) và song song với đường thẳng x^2 +7y+6=0, thì phương trình của d phải có dạng x+7y+c=0. Do d song song với đường thẳng đã cho nên vectơ chỉ phương của d cũng vuông góc với đạo hàm của (C) tại điểm tiếp xúc. Điều này có nghĩa là vectơ chỉ phương của d là (2y0-4,-2x0+4), và vì d đi qua điểm (x0,y0) nên phương trình của d có thể viết lại dưới dạng:
x + 7y - (x0 + 7y0) = 0

Để tìm điểm mà d đi qua, ta cần tìm một điểm P(x0,y0) thuộc (C) mà có vectơ chỉ phương của d là (2y0-4,-2x0+4) theo cách trên. Điều này tương đương với việc tìm nghiệm của hệ phương trình sau:
y-2 = k(-x+2) (1)
x+7y = x0+7y0 (2)

Trong đó k = (2y0-4)/(-2x0+4), là tỉ số của hai thành phần của vectơ chỉ phương của d đã tính được. Thay (1) vào (2) ta có:
x + 7(kx-2k+2) = x0+7y0 <=> (7k+1)x - 14k = x0+7y0-14

Phương trình này cho phép giải x dưới dạng:
x = (x0+7y0-14+14k)/(7k+1)

Thay vào (1) ta được:
y-2 = k(-x+2) = k(-(x0+7y0-14+14k)/(7k+1)+2) = -k(7y0-13kx0+44k-14)/(7k+1)

Vậy phương trình của d là:
-k(7y0-13kx0+44k-