Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Cách giải:

Ta có $\{\begin{cases} B C ⊥ S C \\ B C ⊥ S H \end{cases} \Rightarrow B C ⊥ (S C H) \Rightarrow B C ⊥ H C .$

Khi đó ta có: $\{\begin{cases} (S B C) \cap (A B C D) = B C \\ S C \subset (S B C), S C ⊥ B C (g t) \\ H C \subset (A B C D), H C ⊥ B C (c m t) \end{cases} \Rightarrow ∠ ((S B C); (A B C D)) = ∠ (S C; H C) = ∠ S C H = α .$

Xét tam giác vuông SHC ta có: $S H = S C . \sin α = a . \sin α, H C = S C . \cos α = a . \cos α$

Ta có: $\{\begin{cases} H C ⊥ S B (c m t) \\ ∠ A B C = 45^{0} (g t) \end{cases} \Rightarrow Δ B C H$ vuông cân tại $C \Rightarrow H B = H C . \sqrt{2} = a \sqrt{2} . \cos α$

$\Rightarrow A B = 2 H B = 2 a \sqrt{2} . \cos α$ và $D C = H B = a \sqrt{2} . \cos α$ .

Gọi K là trung điểm của BH ta có $C K ⊥ H B \Rightarrow C K ⊥ A B$ và $C K = \frac{1}{2} B H = \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cos α$ .

$\Rightarrow S_{A B C D} = \frac{(A B + C D) . C K}{2} = \frac{2 a \sqrt{2} . \cos α + a \sqrt{2} . \cos α}{2} . \frac{1}{2} a \sqrt{2} \cos α = \frac{3}{2} a^{2} \cos^{2} α .$

$\Rightarrow V = \frac{1}{3} . S H . S_{A B C D} = \frac{1}{3} . a . \sin α . \frac{3}{2} a^{2} . \cos^{2} α = \frac{1}{2} a^{3} \sin α (1 - \sin^{2} α) .$

Đặt $t = \sin α, t \in (0; 1),$ xét hàm số $f (t) = 1 - t^{3}, t \in (0; 1)$ ta có $f' (t) = 1 - 3 t^{2} = 0 \Rightarrow t = \frac{1}{\sqrt{3}}$ .

Vậy $V_{S . A B C D}$ đạt giá trị lớn nhất khi $\sin α = \frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow \cos α = \sqrt{1 - \frac{1}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ (do $0 < α \leq 90^{0}$ nên $\cos α > 0) .$

Chọn B.

...Xem thêm

Answer 2