Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Xét phương trình g(x) = 0

Chỉ ra hàm số y= f(x) đồng biến trên R

Suy ra số nghiệm phương trình $g (f (x)) = 0$

Cách giải:

Xét phương trình g(x)= 0

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow (m^{2} + 2 m + 5) x^{3} - (2 m^{2} + 4 m + 9) x^{2} - 3 x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow (m^{2} + 2 m + 5) x^{3} - (2 m^{2} + 4 m + 10) x^{2} + x^{2} - 3 x + 2 = 0 \\ \Leftrightarrow (m^{2} + 2 m + 5) x^{2} (x - 2) + (x - 1) (x - 2) = 0 \\ \Leftrightarrow (x - 2) [(m^{2} + 2 m + 5) x^{2} + x - 1] = 0 \\ \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = 2 \\ (m^{2} + 2 m + 5) x^{2} + x - 1 = 0 (*) \end{array} \end{array}$

Xét (*) vì $\{\begin{cases} m^{2} + 2 m + 5 = {(m + 1)}^{2} + 4 > 0 \\ a c = - (m^{2} + 2 m + 5) < 0 \\ (m^{2} + 2 m + 5) {.2}^{2} + 2 - 1 = 4 m^{2} + 8 m + 21 > 0 \end{cases}$ nên phương trình (*) có 2 nghiệm trái dấu khác 2.

Hay g(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt $\{\begin{cases} x = 2 \\ x = m (m n < 0) \\ x = n \end{cases} .$ Do đó $g (f (x)) = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} f (x) = 2 (1) \\ f (x) = m (2) (m n < 0) \\ f (x) = n (3) \end{array} .$

Xét hàm số $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - (m + 1) x^{2} + (3 m^{2} + 4 m + 5) x + 2021$ ta có: $f' (x) = x^{2} - 2 (m + 1) x + 3 m^{2} + 4 m + 5.$

Ta có $Δ'_{f' (x)} = {(m + 1)}^{2} - (3 m^{2} + 4 m + 5) = - 2 m^{2} - 2 m - 4 < 0 \forall m$ nên $f' (x) > 0 \forall x \in ℝ .$

Suy ra hàm số f(x) là hàm đồng biến trên R

Do đó mỗi phương trình (1), (2), (3) có nghiệm duy nhất và các nghiệm này là khác nhau.

Vậy phương trình g(x) =0 có 3 nghiệm phân biệt.

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2