Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B.

Ta có

$3^{- |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|} \log_{\sqrt[3]{3}} (x^{2} - 2 x + 5) + 3^{- x^{2} + 2 x} \log_{\frac{1}{3}} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) = 0$

$\Leftrightarrow \frac{3}{3^{|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|}} . \log_{3} (x^{2} - 2 x + 5) = \log_{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) {.3}^{- x^{2} + 2 x}$

$\Leftrightarrow \log_{3} (x^{2} - 2 x + 1 + 4) {.3}^{x^{2} - 2 x + 1} = \log_{3} (|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| + 4) {.3}^{|x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m|}, (*)$

Xét hàm số $f (t) = 3^{t} . \log_{3} (t + 4), \forall t \geq 0$

Ta có $f' (t) = 3^{t} . \ln 3. \log_{3} (t + 4) + \frac{1}{(t + 4) . \ln 3} > 0, \forall t \geq 0.$

Suy ra hàm số f(t) đồng biến trên $(0; + \infty)$

Như vậy $(*) \Rightarrow x^{2} - 2 x + 1 = |x^{3} - \frac{x^{2}}{2} - m| \Leftrightarrow [\begin{array}{l} m = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - 1, (1) \\ m = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1, (2) \end{array}, (* *)$

Đặt $\{\begin{cases} h (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} + 2 x - 1 \\ g (x) = x^{3} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x + 1 \end{cases}$

Gọi S là tập hợp các giá trị thực của tham số m để phương trình (ảnh 1)

Ta có giao điểm của đồ thị h(x) và g(x) là điểm $K (1; \frac{1}{2})$

Ta có $h' (x) = 3 x^{2} - 3 x + 2 > 0, \forall x \in ℝ \Rightarrow h (x)$ đồng biến trên $ℝ$ .

Ta có: $g' (x) = 3 x^{2} + x - 2 = 0 \Leftrightarrow [\begin{array}{l} x = - 1 \\ x = \frac{2}{3} \end{array}$

Điểm cực đại của đồ thị $H (- 1; \frac{5}{2})$ , điểm cực tiểu của đồ thị $L (\frac{2}{3}; \frac{5}{27})$

Như vậy để phương trình đã cho có đúng 3 nghiệm thì (**) có đúng 3 nghiệm $\Leftrightarrow$ pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 2 nghiệm phân biệt hoặc pt (1) có 1 nghiệm và pt (2) có đúng 3 nghiệm phân biệt trong đó có 1 nghiệm chung $x = 1$

$\Leftrightarrow m = \frac{5}{2} \lor m = \frac{5}{27} \lor m = \frac{1}{2}$ suy ra tích các giá trị m thỏa yêu cầu bài toán là $\frac{25}{108} .$

...Xem thêm

Answer 2