Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Media VietJack

Gọi H là hình chiếu vuông góc của điểm O trên mặt phẳng $(P Q R)$ .

Dễ thấy $\frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{O P^{2}} + \frac{1}{O Q^{2}} + \frac{1}{O R^{2}} \Rightarrow \frac{1}{O H^{2}} = \frac{1}{8} \Rightarrow O H = 2 \sqrt{2}$ .

Khi đó $(P Q R)$ luôn tiếp xúc với mặt cầu (S) tâm O, bán kính $R = 2 \sqrt{2}$ .

Ta có $O M = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4} + 0} = 1 < R$ nên điểm M nằm trong mặt cầu $(S)$ .

Gọi I là trung điểm của AB, do $Δ O A B$ cân tại O nên $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} O I . A B$ .

Đặt $O I = x$ . Vì $O I \leq O M$ nên $0 < x \leq 1$ và $A B = 2 \sqrt{8 - x^{2}}$ .

Ta có $S_{Δ O A B} = \frac{1}{2} x .2 \sqrt{8 - x^{2}} = x \sqrt{8 - x^{2}} = \sqrt{8 x^{2} - x^{4}}$ .

Xét hàm số $f (x) = 8 x^{2} - x^{4}, 0 < x \leq 1$ .

Vì $f^{'} (x) = 4 x (4 - x^{2}) > 0$ với mọi $x \in (0; 1]$ nên $f (x) \leq f (1) = 7$ .

Suy ra diện tích của $Δ O A B$ lớn nhất bằng $\sqrt{7}$ đạt được khi M là trung điểm của AB.

Chọn D.

...Xem thêm

Answer 2