Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B.

Ta có: $g' (x) = (- 2 x + 4 m) . e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f (x) + e^{- x^{2} + 4 m x - 5} . f' (x)$

$\Leftrightarrow g' (x) = [(- 2 x + 4 m) . f (x) + f' (x)] . e^{- x^{2} + 4 m x - 5} .$

Yêu cầu bài toán $\Leftrightarrow g' (x) \geq 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ và g'(x) = 0 chỉ xảy ra tại một số hữu hạn điểm thuộc $(- 1; \frac{1}{2}) .$

$\Leftrightarrow (- 2 x + 4 m) . f (x) + f' (x) \geq 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2})$ (vì $e^{- x^{2} + 4 m x - 5} > 0)$

$\Leftrightarrow - 2 x + 4 m \geq - \frac{f' (x)}{f (x)}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}),$ (vì $f (x) > 0, \forall x \in ℝ)$

$\Leftrightarrow 4 m \geq 2 x - \frac{f' (x)}{f (x)}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) (*) .$

Xét $h (x) = 2 x - \frac{f' (x)}{f (x)}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) .$ Ta có $h' (x) = 2 - \frac{f " (x) . f (x) - {[f' (x)]}^{2}}{f^{2} (x)} .$

Mà $\{\begin{cases} f " (x) < 0 \\ f (x) > 0 \end{cases}, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) \Rightarrow \frac{f " (x) . f (x) - {[f' (x)]}^{2}}{f^{2} (x)} < 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) .$

Từ đó suy ra $h' (x) > 0, \forall x \in (- 1; \frac{1}{2}) .$ Vậy hàm số h(x) đồng biến trên $(- 1; \frac{1}{2}) .$

Bảng biến thiên:

Cho hàm số y= f(x) và f(x)> 0, với mọi x thuộc R. Biết hàm số y= f'(x) có bảng biên thiên (ảnh 2)

Vậy điều kiện $(*) \Leftrightarrow 4 m \geq h (\frac{1}{2}) \Leftrightarrow 4 m \geq 2. (\frac{1}{2}) - \frac{f' (\frac{1}{2})}{f (\frac{1}{2})} \Leftrightarrow 4 m \geq \frac{225}{137} \Leftrightarrow m \geq \frac{225}{548} .$

Lại có $\{\begin{cases} m \in ℤ \\ m \in [- 2020; 2020] \end{cases} \Rightarrow m \in \{1; 2; 3; ...; 2020\} .$

Vậy có 2020 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

...Xem thêm

Answer 2