Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hướng dẫn giải

Ta có $P = \frac{x}{y + 1} + \frac{y}{x + 1} = \frac{x (x + 1) + y (y + 1)}{(x + 1) (y + 1)} = \frac{{(x + y)}^{2} - 2 x y + 1}{x y + x + y + 1} = \frac{2 - 2 x y}{2 + x y} .$

Đặt $t = x y$ ta được $P = \frac{2 - 2 t}{2 + t} .$

Vì $x \geq 0; y \geq 0 \Rightarrow t \geq 0.$

Mặt khác $1 = x + y \geq 2 \sqrt{x y} \Leftrightarrow x y \leq \frac{1}{4} \Rightarrow t \leq \frac{1}{4} .$

Khi đó, bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $g (t) = \frac{2 - 2 t}{2 + t}$ trên $[0; \frac{1}{4}] .$

Xét hàm số $g (t) = \frac{2 - 2 t}{2 + t}$ xác định và liên tục trên $[0; \frac{1}{4}] .$

Ta có $g^{'} (t) = \frac{- 6}{{(2 + t)}^{2}} < 0$ với $\forall t \in (0; \frac{1}{4})$

$\Rightarrow$ hàm số $g (t)$ nghịch biến trên đoạn $[0; \frac{1}{4}] .$

Do đó $\{\begin{cases} \min_{[0; \frac{1}{4}]} g (t) = g (\frac{1}{4}) = \frac{2}{3} \\ \max_{[0; \frac{1}{4}]} g (t) = g (0) = 1 \end{cases} \Rightarrow \{\begin{cases} \min P = \frac{2}{3} \\ \max P = 1 \end{cases}$ .

Chọn C.

...Xem thêm

Answer 2