Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B

Đặt $z = a + b i (a, b \in ℝ)$ và $t = |z + 1|$ . Khi đó

$t^{2} = (z + 1) (\bar{z} + 1) = {|z|}^{2} + 1 + z + \bar{z} = 2 + 2 a \Rightarrow a = \frac{t^{2} - 2}{2}$

Ta có

$|z^{2} + z + 1| = |a^{2} - b^{2} + 2 a b i + a + b i + 1| = |a^{2} + (1 - b^{2}) + a + b (2 a + 1) i| = \sqrt{{(2 a^{2} + a)}^{2} + b^{2} {(2 a + 1)}^{2}} = \sqrt{a^{2} {(2 a + 1)}^{2} + (1 - a^{2}) {(2 a + 1)}^{2}}$

$= |2 a + 1| = |t^{2} - 1|$

$\Rightarrow |z + 1| + |z^{2} + z + 1| = t + |t^{2} - 1|$ (với $0 \leq t \leq 2$ , do $a^{2} \leq 1$ ).

Xét hàm số $f (t) = t + |t^{2} - 1|$ với $t \in [0; 2]$

Trường hợp 1: $t \in [0; 1] \Rightarrow f (t) = t + 1 - t^{2} = - t^{2} + t + 1 \leq f (\frac{1}{2}) = \frac{5}{4}$

và có $f (0) = f (1) = 1$ nên $\{\begin{cases} \max_{[0; 1]} f (t) = \frac{5}{4} \\ \min_{[0; 1]} f (t) = 1 \end{cases}$

Trường hợp 2: $t \in [1; 2] \Rightarrow f (t) = t + t^{2} - 1 = t^{2} + t - 1, f^{'} (t) = 2 t + 1 > 0, \forall t \in [1; 2]$

Do đó hàm số luôn đồng biến trên $[1; 2] \Rightarrow$ $\{\begin{cases} M = \max_{[0; 2]} f (t) = 5 \\ m = \min_{[0; 2]} f (t) = 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 6$

Vậy

\{\begin{cases} M = \max_{[0; 2]} f (t) = 5 \\ m = \min_{[0; 2]} f (t) = 1 \end{cases} \Rightarrow M + m = 6

...Xem thêm

Answer 2