Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn B

Đặt $z = x + y i (x, y \in ℝ)$ ta có

$|z - 1| = \sqrt{2} \Leftrightarrow |x - 1 + y i| = \sqrt{2} \Leftrightarrow \sqrt{{(x - 1)}^{2} + y^{2}} = \sqrt{2}$

$\Leftrightarrow {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 2 \Leftrightarrow x^{2} + y^{2} = 2 x + 1$ (*).

Lại có

$T = |z + i| + |z - 2 - i| = |x + (y + 1) i| + |x - 2 + (y - 1) i| = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 2 y + 1} + \sqrt{x^{2} + y^{2} - 4 x - 2 y + 5}$

Kết hợp với (*) ta được

$T = \sqrt{2 x + 2 y + 2} + \sqrt{6 - 2 x - 2 y} = \sqrt{2 (x + y) + 2} + \sqrt{6 - 2 (x + y)}$

Đặt T = x + y, khi đó $T = f (t) = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t}$ với $t \in [- 1; 3]$

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có $f' (t) = \frac{1}{\sqrt{2 t + 2}} - \frac{1}{\sqrt{6 - 2 t}}; f^{'} (t) = 0 \Leftrightarrow t = 1$

Mà $f (1) = 4, f (- 1) = 2 \sqrt{2}, f (3) = 2 \sqrt{2}$ . Vậy $\max f (t) = f (1) = 4$

Cách 2: Sử dụng phương pháp đại số

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có

$T = \sqrt{2 t + 2} + \sqrt{6 - 2 t} \leq \sqrt{(1 + 1) .8} = 4$

Đẳng thức xảy ra khi t = 1

...Xem thêm

Answer 2