Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Chọn D

Ta có $2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2}) = {|z_{1} + z_{2}|}^{2} + {|z_{1} - z_{2}|}^{2} = 5^{2} + 3^{2} + 4^{2} = 50$

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có

$|z_{1}| + |z_{2}| \leq \sqrt{2 ({|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2})} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

Gọi $z_{1} = x + y i, z_{2} = a + b i; a, b, x, y \in ℝ$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\{\begin{cases} z_{1} - z_{2} = 3 + 4 i \\ |z_{1} + z_{2}| = 5 \\ {|z_{1}|}^{2} + {|z_{2}|}^{2} = 25 \\ |z_{1}| = |z_{2}| \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} x = \frac{7}{2} \\ y = \frac{1}{2} \end{cases}$ và $\{\begin{cases} a = \frac{1}{2} \\ b = - \frac{7}{2} \end{cases}$ . Hay $z_{1} = \frac{7}{2} + \frac{1}{2} i; z_{2} = \frac{1}{2} - \frac{7}{2} i$

Thay $z_{1}, z_{2}$ vào giả thiết thỏa mãn.

Vậy, giá trị lớn nhất của biểu thức $|z_{1}| + |z_{2}|$ bằng $5 \sqrt{2}$

...Xem thêm

Answer 2