Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có $\angle BHD = \angle CHE = 90^\circ$ do BD và CE là hai đường cao của tam giác ABC. Khi đó, ta có thể viết được:

$\angle BCD = \angle HBD + \angle HBC$
và
$\angle CBE = \angle HCE + \angle ECB$

Do đó, để chứng minh $\angle BCD = \angle CBE$, ta cần chứng minh rằng $\angle HBD = \angle HCE$ và $\angle HBC = \angle ECB$.

Ta có $\angle HBH = \angle HCH = 90^\circ - \angle A$, vì BD và CE là các đường cao trong tam giác ABC. Do đó,

$\angle HBD = \angle HBH - \angle DBH = (90^\circ - \angle A) - \angle C$
và
$\angle HCE = \angle HCH - \angle ECH = (90^\circ - \angle A) - \angle B$

Từ đó suy ra: $\angle HBD = \angle HCE$, và điều này suy ra $\angle BCD = \angle CBE$.

b) Ta lại sử dụng $\angle HBH = \angle HCH = 90^\circ - \angle A$. Như vậy,

$\angle HCB = \angle HCE + \angle ECB = (90^\circ - \angle A) - \angle B + \angle C = (90^\circ - \angle B) + \angle C - \angle A = \angle HBC$

Vậy tam giác BHC cân tại H.

c) Gọi I là giao điểm của tia phân giác AH với BC.

Ta cần chứng minh rằng $\angle BAI = \angle IAC$. Sử dụng định lí phân giác, ta có:

$\frac{BI}{IC} = \frac{AB}{AC}$

hay

$BI = \frac{AB}{AB + AC} \cdot BC$

và

$CI = \frac{AC}{AB + AC} \cdot BC$

Do đó,

$\frac{BI}{CI} = \frac{AB}{AC} \cdot \frac{AC}{AB} = 1$

Vậy, tia AH là tia phân giác của góc BAC.

...Xem thêm

Answer 2