Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Ta có BE=BA, AB=AC nên tam giác ABE đều và góc AEB=60 độ. Do đó, góc ABC=2góc ABD. Vì tia BD là phân giác của góc ABC nên ta có góc ABD=góc EBD. Vậy tam giác ABD= tam giác EBD.

b) Ta có tam giác ABE đều nên góc AEB=60 độ. Góc AED=180-60-90=30 độ. Từ đó suy ra góc BDE=30 độ. Mà tam giác ABD= tam giác EBD nên góc ADB=góc EDB=75 độ. Góc FDC=180-75-30=75 độ. Vậy tam giác DFC cân.

c) Ta có tam giác ABC vuông tại A nên $AB^2+AC^2=BC^2$. Mà BE=BA nên $AE=\sqrt{3}AB$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ADE, ta có:

$DE^2=AD^2+AE^2-2.AD.AE.cos(\angle ADE)$

$DE^2=AD^2+3AB^2-2.AD.\sqrt{3}AB.cos(\angle ADE)$

$DE^2=AD^2+3AB^2-2.AD.\sqrt{3}AB.cos(\angle ADB+\angle BDE)$

$DE^2=AD^2+3AB^2-2.AD.\sqrt{3}AB.(cos(\angle ADB).cos(\angle BDE)-sin(\angle ADB).sin(\angle BDE))$

$DE^2=AD^2+3AB^2-2.AD.\sqrt{3}AB.(\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4})$

$DE^2=AD^2+3AB^2-\sqrt{6}AD.AB-\sqrt{2}AB.AD$

Mà $AB^2+AC^2=BC^2$ nên $AB^2=BC^2-AC^2$. Thay vào trên, ta có:

$DE^2=AD^2+3(BC^2-AC^2)-\sqrt{6}AD.\sqrt{BC^2-AC^2}-\sqrt{2}(BC^2-AC^2)AD$

$DE^2=AD^2+3BC^2-3AC^2-\sqrt{6}AD.\sqrt{BC^2-AC^2}-\sqrt{2}BC^2.AD+\sqrt{2}AC^2.AD$

Do đó, ta cần chứng minh $AD<CD$, tức là $AD^2<CD^2$. Áp dụng định lý cosin trong tam giác ADC, ta có:

$CD^2=AC^2+AD^2-2.AC.AD.cos(\angle CAD)$

$CD^2=AC^2+AD^2-2.AC.AD.cos(\angle CAB+\angle BAD)$

$DE^2=AD^2+3AB^2-2.AD.\sqrt{3}AB.cos(\angle ADE)$ 0

$DE^2=AD^2+3AB^2-2.AD.\sqrt{3}AB.cos(\angle ADE)$ 1

Do đó, ta cần chứng minh

...Xem thêm

Answer 2