Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao BM ,CN cắt nhau tại H. a) Chứng minh...

Giai Tuệ Châu

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 17:00 14/04/2023

Ôn tập Toán 8

Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao BM ,CN cắt nhau tại H.

a) Chứng minh tam giác HNB đồng dạng với tam giác HMC .

b) Góc AMN = Góc ABC

c)Gọi E là trung điểm AH , K là trung điểm BC. Chứng minh EK là đường trung trực của MN.

d)Chứng minh BN.BA+CM.CA=BC^2

Trả Lời

Hỏi chi tiết

Trả lời trong APP VIETJACK

Quảng cáo

2 câu trả lời 1184

_kw

2 năm trước

a) Ta có:

$\angle HNB = \angle HMC$ (do $BM \parallel CN$ )

$\angle BHN = \angle CHM = 90^{\circ}$ (do $BM, CN$ lần lượt là đường cao của tam giác $ABC$ )

Vậy tam giác $HNB$ đồng dạng với tam giác $HMC$ theo góc - góc.

b) Ta có:

$\angle AMN = 180^{\circ} - \angle BMN - \angle BNM$

$\angle AMN = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB$ (do $BM, CN$ lần lượt là đường cao của tam giác $ABC$ )

$\angle AMN = \angle A$ (do tổng các góc trong tam giác bằng $180^{\circ}$ )

Vậy $\angle AMN = \angle ABC$ .

c) Ta có:

$E$ là trung điểm $AH$ , $K$ là trung điểm $BC$ .

Do đó, $EK$ song song với $MN$ và $EK = \frac{1}{2}MN$ .

Vì $E$ là trung điểm $AH$ , nên $AE = EH$ .

Vì $K$ là trung điểm $BC$ , nên $BK = KC$ .

Ta có:

$\angle KCB = \angle KBC = \angle MNB$ (do $BM \parallel CN$ )

$\angle KBC = \angle EHB$ (do $EK \parallel BH$ )

$\angle EHB = \angle ENB$ (do $BH \parallel MN$ )

Vậy tam giác $ENB$ đồng dạng với tam giác $KBC$ theo góc.

Do đó, $\frac{EK}{KB} = \frac{EN}{NC}$ .

Mà $KB = KC$ nên $\frac{EK}{KC} = \frac{EN}{NC}$ .

Vậy $EK = EN$ .

Từ đó suy ra $EK$ là đường trung trực của $MN$ .

d) Ta có:

$BN \perp AC$ , $CM \perp AB$ .

Do đó, $BN^2 = BA^2 - AN^2$ và $CM^2 = CA^2 - AM^2$ .

Cộng hai vế ta được:

$BN^2 + CM^2 = BA^2 + CA^2 - (AN^2 + AM^2)$ .

Nhưng $AN = BM$ (do $BM, CN$ lần lượt là đường cao của tam giác $ABC$ ) và $AM = CN$ , nên $AN^2 + AM^2 = BM^2 + CN^2$ .

Do đó, $BN^2 + CM^2 = BA^2 + CA^2 - (BM^2 + CN^2)$ .

Nhưng $BM \cdot CN = S_{ABC}$ (diện tích tam giác $ABC$ ), nên $BM^2 + CN^2 = (BM + CN)^2 - 2BM \cdot CN = BC^2 - 2S_{ABC}$ .

Do đó, $BN^2 + CM^2 = BA^2 + CA^2 - (BC^2 - 2S_{ABC})$ .

Tức là $BN^2 + BA \cdot BN + CM^2 + CA \cdot CM = BC^2 + 2S_{ABC}$ .

Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{1}{2}R$ (trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ ), ta được:

$\frac{1}{2}R \cdot BC^2 = a \cdot S_{ABC}$ .

Nhưng $S_{ABC} = \frac{1}{2}abc \cdot \sin A$ và $a = 2R \cdot \sin A$ , nên ta có:

$S_{ABC} = R \cdot bc \cdot \sin A$ .

Do đó, $\frac{1}{2}R \cdot BC^2 = R \cdot bc \cdot \sin A$ .

Tức là $BC^2 = 4R^2 \cdot \sin^2 A = 4R^2 - a^2 - b^2 - c^2$ (theo công thức của đường tròn ngoại tiếp tam giác).

Mà $a^2 = BN^2 + BA \cdot BN$ và $b^2 = CM^2 + CA \cdot CM$ , nên ta có:

$BC^2 = BN^2 + BA \cdot BN + CM^2 + CA \cdot CM$ .

Tức là $BN \cdot BA + CM \cdot CA = BC^2 - BN^2 - CM^2$ .

Nhưng $BN^2 = BH \cdot BM$ và $CM^2 = CH \cdot CN$ , nên ta có:

$BN \cdot BA + CM \cdot CA = BC^2 - BH \cdot BM - CH \cdot CN$ .

Nhưng $BH \cdot BM = CH \cdot CN = S_{ABC}$ , do đó:

$BN \cdot BA + CM \cdot CA = BC^2 - 2S_{ABC}$ .

$= a^2 + b^2 + c^2 - 2S_{ABC}$ .

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $BN \cdot BA + CM \cdot CA = a^2 + b^2 + c^2 - 2S_{ABC}$ .

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Dâu tây

2 năm trước

Chứng minh đoạn thẳng AB là 3 góc nhọn ta sẽ ứng với x

Chứng minh cái đoạn thẳng tiếp theo là C vậy kết quả chính xác sẽ là 9/5 $\sqrt{7}$ nhé

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Thành viên hăng hái nhất trong tuần

꧁༒ 𝙞𝙚𝙪•Đ𝙖𝙣•𝙑𝙮vɴシ༒꧂ 3180 điểm
Macaron 1745 điểm
꧁༒ρɧáʈ༒꧂ 1430 điểm
.·:*¨༺P.Đức ༻¨*:·. 845 điểm
Một chút cơm tró mỗi ngày 655 điểm
CEO tập đoàn Lục thị[nk] 440 điểm
Kim Ngưu (tháng 4) bay 3 acc r 430 điểm
Trần Trúc Quỳnh Phan 370 điểm
miu 305 điểm
🎧ྀི✧˖°. 사랑🆃ổ🅽🅶~🆃à🅸~🅻ạ🅽🅷~🅻ù🅽🅶~~🅰🅽🆂🅸🅾🅲🅷🅸𝜗𝜚 ⊹♪ 210 điểm
khóa acc ít thui 7 acc r {như} 195 điểm
y yor forger 170 điểm
NgủNgàyLọĐêm 165 điểm
Phuong Nguyen 115 điểm
iem my 100 điểm

Xem thêm

Rút gọn

Bài viết mới nhất Lớp 8

Xem thêm »

Gửi báo cáo thành công!