Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn, 2 đường cao BM ,CN cắt nhau tại H.
a) Chứng minh tam giác HNB đồng dạng với tam giác HMC .
b) Góc AMN = Góc ABC
c)Gọi E là trung điểm AH , K là trung điểm BC. Chứng minh EK là đường trung trực của MN.
d)Chứng minh BN.BA+CM.CA=BC^2
Quảng cáo
2 câu trả lời 1226
a) Ta có:
$\angle HNB = \angle HMC$ (do $BM \parallel CN$)
$\angle BHN = \angle CHM = 90^{\circ}$ (do $BM, CN$ lần lượt là đường cao của tam giác $ABC$)
Vậy tam giác $HNB$ đồng dạng với tam giác $HMC$ theo góc - góc.
b) Ta có:
$\angle AMN = 180^{\circ} - \angle BMN - \angle BNM$
$\angle AMN = 180^{\circ} - \angle ABC - \angle ACB$ (do $BM, CN$ lần lượt là đường cao của tam giác $ABC$)
$\angle AMN = \angle A$ (do tổng các góc trong tam giác bằng $180^{\circ}$)
Vậy $\angle AMN = \angle ABC$.
c) Ta có:
$E$ là trung điểm $AH$, $K$ là trung điểm $BC$.
Do đó, $EK$ song song với $MN$ và $EK = \frac{1}{2}MN$.
Vì $E$ là trung điểm $AH$, nên $AE = EH$.
Vì $K$ là trung điểm $BC$, nên $BK = KC$.
Ta có:
$\angle KCB = \angle KBC = \angle MNB$ (do $BM \parallel CN$)
$\angle KBC = \angle EHB$ (do $EK \parallel BH$)
$\angle EHB = \angle ENB$ (do $BH \parallel MN$)
Vậy tam giác $ENB$ đồng dạng với tam giác $KBC$ theo góc.
Do đó, $\frac{EK}{KB} = \frac{EN}{NC}$.
Mà $KB = KC$ nên $\frac{EK}{KC} = \frac{EN}{NC}$.
Vậy $EK = EN$.
Từ đó suy ra $EK$ là đường trung trực của $MN$.
d) Ta có:
$BN \perp AC$, $CM \perp AB$.
Do đó, $BN^2 = BA^2 - AN^2$ và $CM^2 = CA^2 - AM^2$.
Cộng hai vế ta được:
$BN^2 + CM^2 = BA^2 + CA^2 - (AN^2 + AM^2)$.
Nhưng $AN = BM$ (do $BM, CN$ lần lượt là đường cao của tam giác $ABC$) và $AM = CN$, nên $AN^2 + AM^2 = BM^2 + CN^2$.
Do đó, $BN^2 + CM^2 = BA^2 + CA^2 - (BM^2 + CN^2)$.
Nhưng $BM \cdot CN = S_{ABC}$ (diện tích tam giác $ABC$), nên $BM^2 + CN^2 = (BM + CN)^2 - 2BM \cdot CN = BC^2 - 2S_{ABC}$.
Do đó, $BN^2 + CM^2 = BA^2 + CA^2 - (BC^2 - 2S_{ABC})$.
Tức là $BN^2 + BA \cdot BN + CM^2 + CA \cdot CM = BC^2 + 2S_{ABC}$.
Nhân cả hai vế của phương trình với $\frac{1}{2}R$ (trong đó $R$ là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$), ta được:
$\frac{1}{2}R \cdot BC^2 = a \cdot S_{ABC}$.
Nhưng $S_{ABC} = \frac{1}{2}abc \cdot \sin A$ và $a = 2R \cdot \sin A$, nên ta có:
$S_{ABC} = R \cdot bc \cdot \sin A$.
Do đó, $\frac{1}{2}R \cdot BC^2 = R \cdot bc \cdot \sin A$.
Tức là $BC^2 = 4R^2 \cdot \sin^2 A = 4R^2 - a^2 - b^2 - c^2$ (theo công thức của đường tròn ngoại tiếp tam giác).
Mà $a^2 = BN^2 + BA \cdot BN$ và $b^2 = CM^2 + CA \cdot CM$, nên ta có:
$BC^2 = BN^2 + BA \cdot BN + CM^2 + CA \cdot CM$.
Tức là $BN \cdot BA + CM \cdot CA = BC^2 - BN^2 - CM^2$.
Nhưng $BN^2 = BH \cdot BM$ và $CM^2 = CH \cdot CN$, nên ta có:
$BN \cdot BA + CM \cdot CA = BC^2 - BH \cdot BM - CH \cdot CN$.
Nhưng $BH \cdot BM = CH \cdot CN = S_{ABC}$, do đó:
$BN \cdot BA + CM \cdot CA = BC^2 - 2S_{ABC}$.
$= a^2 + b^2 + c^2 - 2S_{ABC}$.
Như vậy, ta đã chứng minh được rằng $BN \cdot BA + CM \cdot CA = a^2 + b^2 + c^2 - 2S_{ABC}$.
Chứng minh đoạn thẳng AB là 3 góc nhọn ta sẽ ứng với x
Chứng minh cái đoạn thẳng tiếp theo là C vậy kết quả chính xác sẽ là 9/5 nhé
Quảng cáo
Bạn muốn hỏi bài tập?
Câu hỏi hot cùng chủ đề
-
16070
-
8850
-
우옌🖤 해영 ✨
1810 điểm
-
Sori
1745 điểm
-
사랑해요😘
1190 điểm
-
Dương Nguyễn
1140 điểm
-
`color{blue}text{HuyTùng☢`
925 điểm
-
그림 그리기를 좋아하지만, 직업이 허락하지 않아요😞
875 điểm
-
하루토 [팜 안 둥]
850 điểm
-
돈이없다 💸😭
845 điểm
-
`d.`
805 điểm
-
౨ৎ𝘉ắ𝘱ت𝘭𝘶ộ𝘤تđê⋅˚₊‧ ଳ⋆.࿔*:･🌽
785 điểm
-
🌷김은✨
630 điểm
-
Bích Hồng 625 điểm
-
누가 고철을 팔고 싶어할까요🗑️🗑️
585 điểm
-
jamJames 🥵👍
555 điểm
-
''e thik biker hơn a''
480 điểm
Rút gọn
Bài viết mới nhất Lớp 8
-
3 năm trước8222
-
3 năm trước7732
-
3 năm trước6572
-
3 năm trước6461
-
3 năm trước6291
