Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có:

OA' = OA = OB = OC = OA'' (vì A', A, O, A'', B, C đều nằm trên một đường tròn tâm O).
A'H vuông góc với AB nên A'H song song với OM (M là trung điểm BC).
Vậy tam giác AA'M đồng dạng với tam giác A'OH.
Từ đó suy ra: $\frac{AA'}{A'O} = \frac{AM}{OH}$.
Nhưng $AM = \frac{a}{2}$ và $OH = \frac{BC}{2} = a\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}a$.
Do đó, $\frac{AA'}{A'O} = \frac{\frac{a}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}a} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác A'AC, ta có: $\cos \angle A'AC = \frac{AA'^2 + A'C^2 - AC^2}{2\cdot AA'\cdot A'C}$.
Thay các giá trị đã biết vào ta được: $\cos \angle A'AC = \frac{\frac{1}{3}a^2 + \frac{1}{4}a^2 - a^2}{2\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}a\cdot \frac{1}{2}a} = -\frac{1}{2}$.
Vậy, $\angle (A'AC;ABC) = 180^\circ - \angle A'AC - \angle ABC = 180^\circ - \arccos (-\frac{1}{2}) - 60^\circ \approx 128.2^\circ$.

Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng BC. Ta có:

OA' = OA = OB = OC = OA'' (vì A', A, O, A'', B, C đều nằm trên một đường tròn tâm O).
A'H vuông góc với AB nên A'H song song với OM (M là trung điểm BC).
Vậy tam giác AA'M đồng dạng với tam giác A'OH.
Từ đó suy ra: AA′A′O=AMOH��′�′�=����.
Nhưng AM=a2��=�2 và OH=BC2=asin60∘=√32a��=��2=�sin⁡60∘=32�.
Do đó, AA′A′O=a2√32a=1√3��′�′�=�232�=13.
Áp dụng định lý cosin cho tam giác A'AC, ta có: cos∠A′AC=AA′2+A′C2−AC22⋅AA′⋅A′Ccos⁡∠�′��=��′2+�′�2−��22⋅��′⋅�′�.
Thay các giá trị đã biết vào ta được: cos∠A′AC=13a2+14a2−a22⋅1√3a⋅12a=−12cos⁡∠�′��=13�2+14�2−�22⋅13�⋅12�=−12.
Vậy, ∠(A′AC;ABC)=180∘−∠A′AC−∠ABC=180∘−arccos(−12)−60∘≈128.2∘∠(�′��;���)=180∘−∠�′��−∠���=180∘−arccos⁡(−12)−60∘≈128.2∘.