Khi vẽ hình chóp S.ABC ra, ta có thể thấy được rằng tam giác SAB cũng là tam giác đều. Do đó, ta có SA = SB = a.

Gọi I là trung điểm của SC. Ta có MI song song với đáy ABC và I là trung điểm của đoạn thẳng SC nên MI = 1/2SC.

Gọi H là hình chiếu vuông góc của B lên SM. Ta cần tính khoảng cách từ B đến mp(SMC) chính là khoảng cách từ B đến đường thẳng HM.

Gọi K là hình chiếu của B lên SC. Ta có:

Tam giác SBK vuông tại B nên BK = BS.sin60° = a.√3/2.
Tam giác SCK vuông tại C nên CK = SC.sin60° = a.√3.
Tam giác SKC vuông tại K nên HK = CK.sin(SKC) = CK.sin(90° - SBC) = CK.cosSBC = a.√3.cosSBC.
Ta cần tính cosSBC. Gọi E là hình chiếu của B lên SA. Ta có:

Tam giác SBE vuông tại B nên BE = BS.sin30° = a/2.
Tam giác SAE vuông tại A nên SE = SA.sin30° = a/2.
Tam giác ABE vuông tại E nên AE = AB.sin60° = a.√3.
Do đó, tam giác SAE cũng là tam giác đều và ta có:

SA = SE = a/2.
Góc SAE = 60° nên tam giác SAE vuông tại E.
Từ đó, ta suy ra AE = SE.√3 = a/2.√3 và BE = AB - AE = a - a/2.√3 = a/2.(2 - √3).

Áp dụng định lý cosin trong tam giác SBC, ta được:

cosSBC = (SB² + BC² - SC²)/(2.SB.BC) = (a² + a² - a².√3)/(2.a.a) = (2 - √3)/4.

Vậy, khoảng cách từ B đến mp(SMC) là:

BH = HK.cosSBC = a.√3.cosSBC² = a.√3.(2 - √3)/16.