Gọi $F_1$ và $F_2$ lần lượt là hai tiêu điểm của elip $(E)$, $P$ là một điểm bất kỳ trên elip $(E)$. Ta có:

$PF_1 + PF_2 = 20$

$\Leftrightarrow \sqrt{(x - c)^2 + y^2} + \sqrt{(x + c)^2 + y^2} = 20$

với $c = 10$ là tiêu cự của elip $(E)$.

Bình phương hai vế của phương trình trên, ta được:

$(x - c)^2 + y^2 + (x + c)^2 + y^2 + 2\sqrt{[(x - c)^2 + y^2][(x + c)^2 + y^2]} = 400$

$\Leftrightarrow 2x^2 + 2y^2 + 2\sqrt{x^2 + y^2 - c^2} = 400$

$\Leftrightarrow x^2 + y^2 - 200 = -\sqrt{x^2 + y^2 - c^2}$

Bình phương hai vế của phương trình này, ta được:

$(x^2 + y^2 - 200)^2 = x^2 + y^2 - c^2$

$\Leftrightarrow x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 400x^2 - 400y^2 + 40400 = x^2 + y^2 - 100$

$\Leftrightarrow x^4 + 2x^2y^2 + y^4 - 401x^2 - 401y^2 + 40500 = 0$

Đây chính là phương trình chính tắc của elip $(E)$. Vậy, đáp án là $\boxed{\textbf{(D) } x^2 + \frac{y^2}{2} = 1}$.