Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a)

Vì

∆

SAB là

∆

vuông cân tại A

=>

SA ⊥ AB và SA ⊥ AC

=> SA là đường cao của

∆

ABC

và SA cắt BC tại trung điểm M của BC.

=> BM = MC.

Gọi O là trung điểm của SA,

ta có OA = OS (vì S nằm trên đường thẳng OA).

Vì SA⊥AB
nên

∆

SAB vuông tại A,

ta có: AO² + OB² = AB²

Tương tự, vì SA⊥AC
nên

∆

SAC vuông tại A,

ta có: AO² + OC² = AC²

Do đó, AB² = AC²,

=>

∆ ABC là ∆ đều .

Khi đó: BM = MC = BC/2

và OM = OA - AM = SA/2 - SA = -SA/2.
Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

BC² = BM² + MC²

= BM² + (BM + OM)²

= BM² + BM² + OM² + 2BM.OM

= 2BM² + OM²

= 2(BC/2)² + (-SA/2)²

= BC²/2 + SA²/4

=> BC² = SA²/2.

Mà SA² = AB² + SB²,

vậy: BC² = AB²/2 + SB²/2

Ta có SB < SA vì SB là cạnh của tam giác đều ABC và SA là đường cao của tam giác đều đó.

Do đó, BC² < AB²

suy ra BC < AB.

Vậy BC là đường cao của tam giác SAB từ đỉnh S, nghĩa là BC vuông góc với AB.

b)

Gọi H' là hình chiếu của H trên SC.

Ta cần chứng minh rằng H' trùng với O, trung điểm của SA.

Ta có AH vuông góc với SB (vì AH là đường cao của tam giác SAB).

Gọi K là hình chiếu của A trên SB.

Ta có SK vuông góc với SB

và SK = SA.

Áp dụng định lý Pythagore, ta có:

AK² = AB² - BK²

= SA²/2 - (SB - SK)²

= SA²/2 - (SA - SB)²

= (SA + SB)(SA - SB)/2

Do đó, SA + SB = √2.AK

và SA - SB = √2.BK.

Vì SK = SA

nên ta có AK = SK - SA = -SA/2

và BK = SK = SA.

Suy ra SA + SB = √2.AK = -√2.SA/2

và SA - SB = √2.BK = √2.SA/2.

Vậy SB = 0, tức là tam giác SAB là tam giác vuông cân tại A.

Do đó, AH là đường cao và cũng là đường trung trực

...Xem thêm

Answer 2

a)

Vì

∆